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Bild: Spiegel Online

Rätsel der Woche: Unschlagbare Springer

Zwei Felder geradeaus und eins zur Seite – so bewegt sich der Springer beim Schachspiel. Wie viele dieser Figuren kannst du auf dem Brett platzieren, sodass keine eine andere direkt schlagen kann?

09.01.17, 11:35 09.01.17, 12:34

Holger Dambeck

Ein Artikel von

Unter den Schachfiguren spielt der Springer eine besondere Rolle. Er beherrscht Züge, die nicht einmal einer allmächtigen Dame erlaubt sind. Im heutigen Rätsel geht es allerdings um eine Frage, die mit dem eigentlichen Schachspiel höchstens am Rande zu tun hat.

Wie viele Springer kannst du auf ein Schachbrett der Grösse 8x8 stellen, sodass kein Springer einen anderen in einem Zug schlagen kann? Beweise, dass keine grössere Zahl möglich ist!

Hinweis: Auf einem Feld des Schachbretts darf maximal eine Figur stehen. Und falls du nicht genau weisst, wie sich ein Springer bewegt: Er zieht zwei Felder geradeaus und dann ein Feld nach links oder rechts. Schlagen kann er nur Figuren, die auf dem Feld stehen, auf dem er landet. Figuren, die auf überstrichenen Feldern stehen, werden mit dem Zug nicht geschlagen. 

Achtung, nach dieser Spoiler-Warnung folgt des Rätsels Lösung!

Es sind 32!

Wir schauen uns zunächst an, wie sich der Springer bewegt. Steht er auf einem weissen Feld, landet er nach einem Zug stets auf einem schwarzen Feld – und umgekehrt. 

Wenn wir also auf alle weissen Felder einen Springer stellen, ist ausgeschlossen, dass ein Springer einen anderen schlagen kann. Von den 64 Feldern sind 32 weiss – also können wir 32 Springer auf dem Brett platzieren.

Bild: Spiegel Online

Nun müssen wir noch beweisen, dass es keine Lösung mit mehr als 32 Springern gibt. Dazu betrachten wir einen Ausschnitt des Schachbretts der Grösse 4x2.

In die Felder sind Zahlen eingetragen. Steht ein Springer auf einem der acht Zahlenfelder, bedroht er automatisch das zweite Feld, in dem die gleiche Zahl steht. Dort darf deshalb kein Springer stehen – siehe folgende Skizze:

Bild: Spiegel Online

Daraus folgt: Auf dem 4x2 Felder grossen Ausschnitt lassen sich höchstens vier Springer unterbringen. Wenn wir das Schachbrett der Grösse 8x8 gedanklich in acht Teile der Grösse 4x2 zerlegen, kommen wir auf maximal 4•8=32 Springer für das gesamte Brett.

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Zeno Hirt, 25.6.2017
Immer wieder mal schmunzeln und sich freuen an dem, was da weltweit alles passiert! Genial!
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600
  • Matrixx 09.01.2017 17:32
    Highlight Das ist Schwachsinn! Mit dieser Aufstellung kann mindestens jeder zweiter Springer gefressen werden.
    Die Lösung geht nur, wenn definiert ist, dass sich alle Springer zur gleichen Zeit und in die gleiche Richtung bewegen!
    Wenn ich (aus meiner Sicht) einen Springer 2 Felder vor und eines nach rechts verschiebe, und der Gegner (aus seiner Sicht) seinen 2 Felder vor und eines nach links, dann stehen beide auf dem gleichen Feld.
    1 10 Melden
    • Anded 09.01.2017 17:40
      Highlight Es geht um nur einen Zug von einem Springer, nicht mehrere Züge.
      Andersrum: Wenn ich dir das Brett so hinstelle, wie im Lösungsbild, kannst du einen Springer nehmen, einen Zug machen und auf einem besetzten Feld landen? Nein.
      8 0 Melden
    • Matrixx 09.01.2017 17:44
      Highlight Hier, zum Beweis ein kleines GIF (hoffentlich gehts diesmal)...
      0 5 Melden
    • Matrixx 09.01.2017 17:56
      Highlight Oops. Die Rede ist von einem einzigen Zug? Na, dann ist es korrekt. Hab es so verstanden, dass kein Springer einen weiteren schlagen darf in jeweils einem Zug.

      Mea culpa, mein Gehirn ist noch in den Ferien!
      6 0 Melden
    • kaderschaufel 09.01.2017 17:59
      Highlight ähm, du kannst nur einen Springer pro Zug bewegen. Ist zwar nicht explizit in der Fragestellung, aber weil es ja um Schach geht, doch ziemlich selbsterklärend.
      0 0 Melden
    • Matrixx 09.01.2017 18:13
      Highlight Das weiss ich. Ich dachte aber, man kann mehr als nur einen einzigen Zug machen. Aber da es sich ja geklärt hat, dass im Rätsel nur ein einziger Zug gemeint ist, gehts so auch nicht auf. Ich habs der Einfachheit doppelt gemacht, ist aber als 2 Züge gedacht. Was sich dann wiederum erübrigt hat...
      0 0 Melden
    600
  • Ollowain 09.01.2017 16:25
    Highlight Falsch, es sind doch 42? Ein Block von 7x6 Springer, kann auf dem Schachfeld zwei Felder nach oben und ein Feld nach rechts gerückt werden? Oder habe ich gegen eine Regel verstossen?
    0 1 Melden
    • Anded 09.01.2017 17:14
      Highlight Dabei landen aber 24 Springer auf einem vorher besetzten Feld. Nur 18 die in den oberen 2 Reihen und die am rechten Rand springen auf ein freies Feld. Zudem gibst nicht du die Sprungrichtung vor. Es müssen für jeden Springer alle 2-8 möglichen Landefelder frei sein.
      1 0 Melden
    • Ollowain 09.01.2017 17:35
      Highlight Ach soooooo, danke für die Hilfe! :)
      0 0 Melden
    600
  • Sam1984 09.01.2017 15:24
    Highlight Die Beweisführung kann man viel einfacher machen. Ein Springer wechselt bei jedem Zug die Farbe des Feldes. Ein Springer, der auf einem weissen Feld steht kann nur auf ein schwarzes Feld ziehen, d.h. er kann keine Figur schlagen, die auch auf einem weissen Feld steht. Ergo kann man 32 Springer auf die Felder der gleichen Farbe stellen. Wenn alle Felder einer Farbe mit Springern besetzt sind, dann sind alle Felder der anderen Farbe im nächsten Zug "schlagbar", daher kann man den 33-ten Springer nirgends hinstellen.

    Q.E.D
    6 2 Melden
    • kaderschaufel 09.01.2017 15:57
      Highlight damit hast du nur bewiesen, dass man die Lösung der 32 Springer auf den weissen Feldern nicht vergrössern kann, aber es könnte ja sein, wenn man den Beweis oben nicht gesehen hat, dass es eine ganz andere Lösung (vielleicht mit 16 Springern auf weissen Feldern und 17 Springern auf schwarzen Feldern oder so) mit 33 Springern gibt.
      3 2 Melden
    600
  • lilie 09.01.2017 12:14
    Highlight Ich mag diese Rätsel! 😄

    Die Lösung ist logisch. Aber reicht die Beweisführung? Denn der Springer kann ja nicht nur zwei vorwärts und eins zur Seite, sondern auch einen vorwärts und zwei zur Seite. Dadurch ergeben sich sehr viel mehr Zugmöglichkeiten.

    Bin leider zu doof, um damit die Beweisführung durchzuführen, aber vielleicht kann es jemand anders. Oder hab ich einen Denkfehler drin? 🤔
    1 6 Melden
    • MrBlack 09.01.2017 13:02
      Highlight Das ist das Gleiche, wie zwei Mal vorwärts und einmal zur Seite in eine andere Richtung.
      6 0 Melden
    • Shin Kami 09.01.2017 13:03
      Highlight Stimmt schon ein Springer kann jeweils auf 8 Felder Springen (sofern keine Ränder im Weg sind) allerdings wirklich immer nur auf die jeweils andere Feldfarbe. Also ist 32 korrekt.
      1 1 Melden
    • Antaxas 09.01.2017 13:11
      Highlight Es spielt keine Rolle, ob der Springer sich zuerst nach vorne bewegt und danach zur Seite oder ob er sich zuerst zur Seite bewegt und danach nach Vorne.

      Stell dir vor du drehst das ganze Schachbrett um 90 Grad auf eine Seite und du wirst merken, dass es schlussendlich keinen Unterschied macht :)

      Ich hoffe dies hilft dir beim Verstehen der Beweisführung :)
      4 0 Melden
    • lilie 09.01.2017 15:11
      Highlight @Antaxas: Danke für die Erklärung! :)

      Ich kanns mir vorstellen, nur denke ich, dass es doch einen Unterschied machen müsste, wenn der Springer mehr Möglichkeiten hat.

      Ich hab mir ein 4x4-Quadrat aufgemalt und die Zahlen reingeschrieben wie oben, und es wurde ziemlich chaotisch... 😜😧😅

      Aber ich vetraue dir mal... 😏
      1 0 Melden
    • kaderschaufel 09.01.2017 16:13
      Highlight wenn ich dich richtig verstanden habe, verwirrst du da ein paar Dinge miteinander:

      beim zweiten Teil der Lösung geht es nur darum zu zeigen, dass es nicht mehr Springer auf dem Feld als 32 geben kann. Dazu zeigt man, dass in einem 2x4-Rechteck höchstens 4 Springer sind. Es können aber auch weniger sein, zum Beispiel wenn ein Springer von ausserhalb des 2x4-Rechtecks angreift.

      Dass es aber eine Lösung mit 32 Springern gibt, hast du ja im ersten Teil der Lösung gesehen, und das beweist man mit dem Schwarz-Weiss-Argument (bist du mit dem einverstanden?)
      0 0 Melden
    • lilie 09.01.2017 18:30
      Highlight @kaderschaufel: Aha, ich glaube, jetzt komme ich der Sache langsam auf die Spur!

      Ja, genau, den ersten Teil hab ich kapiert.

      Ich glaube, ich hab das nicht abgespeichert, dass man herausfinden muss, wieviele man HÖCHSTENS auf das 4x2-Feld stellen kann.

      Wenn ich aber mehr Bewegungsmöglichkeiten berücksichtige, kanns ja höchstens weniger geben, aber nicht mehr.

      Danke, jetzt hab ichs geschnallt! 😄
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