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Rätsel der Woche: Verflixte 81

Du nimmst eine natürliche Zahl, bildest ihr Quadrat und ziehst davon 81 ab. Kann das Ergebnis durch 100 teilbar sein?

06.12.16, 06:54 06.12.16, 08:05

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Zahlen beschäftigen uns von klein auf. Schon Babys erkennen den Unterschied zwischen einem Punkt und zwei Punkten. In der Schule büffeln wir das Einmaleins – später kommen rationale und irrationale Zahlen hinzu wie zum Beispiel Pi oder e.

Doch die natürlichen Zahlen werden uns Menschen immer am vertrautesten bleiben. Und es ist verblüffend, dass so manches alte Rätsel über sie bis heute nicht geklärt ist. Etwa die Frage, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Das sind Paare von Primzahlen, deren Differenz 2 beträgt wie zum Beispiel 11 und 13 oder 17 und 19.

Das neue Rätsel fällt zum Glück nicht in diese Kategorie – aber es erfordert zumindest den einen oder anderen Trick:

Finde alle natürlichen Zahlen n<100, für die

n2 - 81

durch 100 teilbar ist!

Achtung, nach dieser Spoiler-Warnung folgt des Rätsels Lösung!

Wenn n2 - 81 durch 100 teilbar sein soll, dann muss die Zahl n2 auf 81 enden. Für welche Zahlen n zwischen 10 und 99 trifft das zu? Wir könnten einfach stumpf von allen diesen Zahlen das Quadrat berechnen – aber das wäre ziemlich umständlich.

Eleganter zum Ziel kommen wir, wenn wir die Fragestellung erst einmal vereinfachen: 

Für welche Zahlen n endet n2 auf 1?

Weil n kleiner als 100 ist, können wir n auch darstellen als 10k + m, wobei k und m einstellige natürliche Zahlen sind. n2 entspricht dann 100k2 + 20km + m2. Benutzt haben wir dafür die binomische Formel (a+b)2 = a2 + 2ab + b2.

Wenn n2 auf 1 enden soll, muss logischerweise auch 100k2 + 20km + m2 auf 1 enden. Das ist nur der Fall, sofern die letzte Stelle von m2 eine 1 ist. Denn sowohl 100k2 als auch 20km sind Vielfache von 10 und haben daher keinen Einfluss auf die letzte Stelle von n2

Wir kommen voran: Weil m eine einstellige natürliche Zahl ist, hat m2 nur dann als letzte Ziffer eine 1, wenn gilt m=1 oder m=9.

Wir untersuchen nun diese beiden Fälle einzeln:

1) m=1

Es gilt n = 10k + 1 und somit n2 = 100k2 + 20k + 1.

100k2 ist durch 100 teilbar. Um die Bedingungen der Aufgabe zu erfüllen, muss 20k + 1 auf 81 enden. Da k eine einstellige natürliche Zahl ist, kommen als Lösungen nur k=4 und k=9 in Frage. Das ergibt für n die beiden Lösungen 41 und 91.

2) m=9

Es gilt n = 10k + 9 und somit n2 = 100k2 + 180k + 81. 

Damit die Bedingungen der Aufgabe erfüllt sind, muss 180k ein Vielfaches von 100 sein. Wir können das vereinfachen zu: 9k muss ein Vielfaches von 5 sein. Dies ist nur möglich, wenn gilt k=0 und k=5. Damit ergeben sich als einzige Lösungen n=9 und n=59.

Fazit:
Die Aufgabe hat 4 Lösungen: 9, 41, 59, 91. Die Quadrate dieser Zahlen sind 81, 1681, 3481 und 8281.

Entdeckt habe ich dieses Zahlenrätsel übrigens beim Mathematikwettbewerb Känguru, an dem jedes Jahr im März Hunderttausende deutsche Schüler teilnehmen.

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Zeno Hirt, 25.6.2017
Immer wieder mal schmunzeln und sich freuen an dem, was da weltweit alles passiert! Genial!
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13Alle Kommentare anzeigen
    Alle Leser-Kommentare
  • droelfmalbumst 06.12.2016 15:40
    Highlight Bahnhof... tschüüütschüüü
    3 0 Melden
  • Meet The Mets 06.12.2016 10:49
    Highlight Jede Zahl ist durch 100 teilbar, ich nehme an, es sollte heissen "restlos" durch 100 teilbar. ;-)
    8 2 Melden
    • Schlumpfinchen 06.12.2016 17:41
      Highlight Es steht, dass es sich um natürliche Zahlen handelt, deshalb sollte das klar sein.
      5 2 Melden
  • D(r)ummer 06.12.2016 10:24
    Highlight
    2 0 Melden
  • Steddybaer 06.12.2016 09:57
    Highlight Aaaah.. warum denke ich, ich könnte diese Aufgabe nur im Entferntesten lösen? :-P
    11 0 Melden
    • The Return of The King, Louie the Gscheidhaferl I. 06.12.2016 10:20
      Highlight Grössenwahn...das Problem habe ich auch ;-)
      8 0 Melden
    • Steddybaer 06.12.2016 11:33
      Highlight Das könnte sein. Totale Selbstüberschätzung, obwohl mir mein mathematisches Unvermögen ständig vor Augen geführt wurde während meiner schulischen Laufbahn :-P
      5 0 Melden
    • pamayer 06.12.2016 20:54
      Highlight Hatte das Gefühl, ich habe noch eine Ahnung von Math. Lass es wohl lieber bleiben. Sonst Größenwahn.
      4 0 Melden
  • The Return of The King, Louie the Gscheidhaferl I. 06.12.2016 08:59
    Highlight Äh sorry, aber 9 kann nicht stimmen.... 81-81 ist NICHT durch 100 teilbar... Und jetzt habe ich Kopfweh von der Erklärung...ich mage Mathe nicht XD
    9 3 Melden
    • JoJodeli 06.12.2016 09:50
      Highlight Frage mich auch seit wann 0 durch 100 teilbar ist...
      Ich meine klar, gibt immer 0, aber naja
      3 0 Melden
    • Daniel Huber 06.12.2016 10:11
      Highlight @JoJodeli und The Return of ...: Mathematik macht mir ja auch Kopfweh. Aber ich denke mal, die 0 gilt als natürliche Zahl. Das ist zwar umstritten, aber der Rätselautor geht offenbar davon aus.
      4 2 Melden
    • The Return of The King, Louie the Gscheidhaferl I. 06.12.2016 10:29
      Highlight Und die Null so: "Natürlich bin ich eine Zahl!" Badumm Tsss. Aber wenn wir jetzt so grundstufenmässig das 100er-Reiheli machen würden, würden wir doch nicht mit 0 beginnen, sondern mit 100, ergo ist 100 die erste Zahl, die durch 100 teilbar ist, nicht? Oder anders, das Apfelbeispiel. Du hast keinen Apfel und willst mit 100 Freunden teilen, wie sieht das Resultat aus? Jeder bekommt ein goldiges Nütelinüt und einen feuchten Händedruck. Lösung ist übrigens, du HATTEST mal 100 Freunde.... jetzt nicht mehr. Der Rätselautor wäre ein ziemlich einsamer Mensch, wenn er so teilt ;-)
      11 0 Melden
    • Einer Wie Alle 06.12.2016 22:26
      Highlight Ob 0 eine natürliche Zahl ist?
      Da streiten sich selbst Mathematiker
      2 1 Melden

Welche Fläche ist grösser – die blaue oder die grüne?

Diese beiden Quadrate weisen dieselbe Grundfläche auf, aber sie sind in unterschiedlich grosse Quadrate eingeteilt. 

Was denkst du – welche Gesamtfläche ist grösser, die der grossen blauen Quadrate oder die der kleinen grünen? 

Die richtige Antwort lautet: Die blaue Fläche ist grösser als die grüne. 

Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass die beiden grossen Quadrate jeweils eine Fläche von 1 haben. 

Die blaue Fläche nimmt 5/9 der Gesamtfläche des linken Quadrats ein, das …

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