Wissen
Wir verwenden Cookies und Analysetools, um die Nutzerfreundlichkeit der Internetseite zu verbessern und passende Werbung von watson und unseren Werbepartnern anzuzeigen. Weitere Infos findest Du in unserer Datenschutzerklärung.
Rätsel der Woche

Bild: Spiegel Online

Rätsel der Woche: Verflixte 81

Du nimmst eine natürliche Zahl, bildest ihr Quadrat und ziehst davon 81 ab. Kann das Ergebnis durch 100 teilbar sein?

06.12.16, 06:54 06.12.16, 08:05


Ein Artikel von

Zahlen beschäftigen uns von klein auf. Schon Babys erkennen den Unterschied zwischen einem Punkt und zwei Punkten. In der Schule büffeln wir das Einmaleins – später kommen rationale und irrationale Zahlen hinzu wie zum Beispiel Pi oder e.

Doch die natürlichen Zahlen werden uns Menschen immer am vertrautesten bleiben. Und es ist verblüffend, dass so manches alte Rätsel über sie bis heute nicht geklärt ist. Etwa die Frage, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Das sind Paare von Primzahlen, deren Differenz 2 beträgt wie zum Beispiel 11 und 13 oder 17 und 19.

Das neue Rätsel fällt zum Glück nicht in diese Kategorie – aber es erfordert zumindest den einen oder anderen Trick:

Finde alle natürlichen Zahlen n<100, für die

n2 - 81

durch 100 teilbar ist!

Achtung, nach dieser Spoiler-Warnung folgt des Rätsels Lösung!

spoiler alert

Wenn n2 - 81 durch 100 teilbar sein soll, dann muss die Zahl n2 auf 81 enden. Für welche Zahlen n zwischen 10 und 99 trifft das zu? Wir könnten einfach stumpf von allen diesen Zahlen das Quadrat berechnen – aber das wäre ziemlich umständlich.

Eleganter zum Ziel kommen wir, wenn wir die Fragestellung erst einmal vereinfachen: 

Für welche Zahlen n endet n2 auf 1?

Weil n kleiner als 100 ist, können wir n auch darstellen als 10k + m, wobei k und m einstellige natürliche Zahlen sind. n2 entspricht dann 100k2 + 20km + m2. Benutzt haben wir dafür die binomische Formel (a+b)2 = a2 + 2ab + b2.

Wenn n2 auf 1 enden soll, muss logischerweise auch 100k2 + 20km + m2 auf 1 enden. Das ist nur der Fall, sofern die letzte Stelle von m2 eine 1 ist. Denn sowohl 100k2 als auch 20km sind Vielfache von 10 und haben daher keinen Einfluss auf die letzte Stelle von n2

Wir kommen voran: Weil m eine einstellige natürliche Zahl ist, hat m2 nur dann als letzte Ziffer eine 1, wenn gilt m=1 oder m=9.

Wir untersuchen nun diese beiden Fälle einzeln:

1) m=1

Es gilt n = 10k + 1 und somit n2 = 100k2 + 20k + 1.

100k2 ist durch 100 teilbar. Um die Bedingungen der Aufgabe zu erfüllen, muss 20k + 1 auf 81 enden. Da k eine einstellige natürliche Zahl ist, kommen als Lösungen nur k=4 und k=9 in Frage. Das ergibt für n die beiden Lösungen 41 und 91.

2) m=9

Es gilt n = 10k + 9 und somit n2 = 100k2 + 180k + 81. 

Damit die Bedingungen der Aufgabe erfüllt sind, muss 180k ein Vielfaches von 100 sein. Wir können das vereinfachen zu: 9k muss ein Vielfaches von 5 sein. Dies ist nur möglich, wenn gilt k=0 und k=5. Damit ergeben sich als einzige Lösungen n=9 und n=59.

Fazit:
Die Aufgabe hat 4 Lösungen: 9, 41, 59, 91. Die Quadrate dieser Zahlen sind 81, 1681, 3481 und 8281.

Entdeckt habe ich dieses Zahlenrätsel übrigens beim Mathematikwettbewerb Känguru, an dem jedes Jahr im März Hunderttausende deutsche Schüler teilnehmen.

Umfrage

Wie schwierig war dieses Rätsel?

  • Abstimmen

313 Votes zu: Wie schwierig war dieses Rätsel?

  • 43%5 (sehr schwierig)
  • 21%4
  • 13%3
  • 10%2
  • 12%1 (sehr leicht)

Rätsel der Woche

Wetten, dieses Tetris-Rätsel bringt dein Hirn mehr zum Kochen als die Sommerhitze?

Klar, die rote und die blaue Fläche sind gleich gross. Aber beweise das mal!

Mit Pythagoras schaffst auch du dieses Rätsel. Oder etwa nicht?

Kannst du das Leuchtturm-Rätsel für Achtjährige lösen?

Schaffst du diese 5 Rätsel ohne Hilfe, darfst du dir einen Pokal ausdrucken!

Wenn du dieses Kornkreis-Rätsel nicht lösen kannst, holen dich die Aliens

Das halbe Internet zerbricht sich den Kopf darüber: Wie gross ist die pinke Fläche?

Um dieses Rätsel zu lösen, benötigst du viel Hirn – und deine cleverste Freundin

Dieses Rätsel wurde für Superhirne mit IQ 131 oder mehr entworfen? Schaffst dus trotzdem?

Logik mit Äpfeln! Dieses Rätsel ist vielleicht gesund – aber sicher brutal schwierig! 

Kannst du «out of the box» denken? Dann hilf dem Osterhasen, alle Nester zu besuchen!

Teil 1 von diesem Rätsel ist einfach. Aber schaffst du Teil 2 auch?

Gehörst du zu den 60 Prozent, die sehen, wie gross die blaue Fläche ist?

Wie schnell kommen die vier Freunde über die Brücke? Hilf ihnen mit Logik!

Wie viele Dreiecke findest du hier?

Aus 4 mach 3! Und zwar in 3 Zügen. Kein Problem für dich, oder?

Welche Fläche ist grösser – die blaue oder die grüne?

Welches Wort suchen wir? Dieses knifflige Rätsel können nur Gehirnakrobaten lösen

3 Kreise teilen die Ebene in 8 Flächen. Wie viele Flächen machen 4 Kreise?

Setz den König matt! Wie viele Züge brauchst du dafür?

Dieses logische Rätsel können nur 2% der Bevölkerung lösen – sagte zumindest Einstein

Diese Aufgabe ist so leicht, dass auch du sie schaffen kannst. Finde alle Dreiecke!

Kannst du + und - so eintragen, dass diese Gleichung stimmt?

Dieses Rätsel benötigt nur 9 Kugeln, 1 Waage – und ein bisschen Gehirnschmalz

Logische Denkaufgabe, Next Level Shit: Bist du besser als unser Rätsel-Reto?

Das Milchkannen-Rätsel ist einfach. Wenn du's nicht schaffst, gibt's keine Milch mehr

Hast du 8 Münzen zur Hand? Dann schaffst du dieses Rätsel mit links

Zwei Logiker in einer Bar – Schaffst du dieses verflucht schwierige Rätsel?

Dieses Rätsel schaffst du nicht einmal, wenn du ein Bücherwurm bist

Nur einer von sechzehn sieht hier alle Dreiecke – gehörst du dazu?

Alle Artikel anzeigen

Hol dir die App!

Brikne, 20.7.2017
Neutrale Infos, Gepfefferte Meinungen. Diese Mischung gefällt mir.

Abonniere unseren Daily Newsletter

13
Weil wir die Kommentar-Debatten weiterhin persönlich moderieren möchten, sehen wir uns gezwungen, die Kommentarfunktion 72 Stunden nach Publikation einer Story zu schliessen. Vielen Dank für dein Verständnis!
13Alle Kommentare anzeigen
    Alle Leser-Kommentare
  • droelfmalbumst 06.12.2016 15:40
    Highlight Bahnhof... tschüüütschüüü
    3 0 Melden
  • Meet The Mets 06.12.2016 10:49
    Highlight Jede Zahl ist durch 100 teilbar, ich nehme an, es sollte heissen "restlos" durch 100 teilbar. ;-)
    8 2 Melden
    • Schlumpfinchen 06.12.2016 17:41
      Highlight Es steht, dass es sich um natürliche Zahlen handelt, deshalb sollte das klar sein.
      5 2 Melden
  • D(r)ummer 06.12.2016 10:24
    Highlight
    2 0 Melden
  • Steddybär 06.12.2016 09:57
    Highlight Aaaah.. warum denke ich, ich könnte diese Aufgabe nur im Entferntesten lösen? :-P
    11 0 Melden
    • The Return of The King, Louie the Gscheidhaferl I. 06.12.2016 10:20
      Highlight Grössenwahn...das Problem habe ich auch ;-)
      8 0 Melden
    • Steddybär 06.12.2016 11:33
      Highlight Das könnte sein. Totale Selbstüberschätzung, obwohl mir mein mathematisches Unvermögen ständig vor Augen geführt wurde während meiner schulischen Laufbahn :-P
      5 0 Melden
    • pamayer 06.12.2016 20:54
      Highlight Hatte das Gefühl, ich habe noch eine Ahnung von Math. Lass es wohl lieber bleiben. Sonst Größenwahn.
      4 0 Melden
  • The Return of The King, Louie the Gscheidhaferl I. 06.12.2016 08:59
    Highlight Äh sorry, aber 9 kann nicht stimmen.... 81-81 ist NICHT durch 100 teilbar... Und jetzt habe ich Kopfweh von der Erklärung...ich mage Mathe nicht XD
    9 3 Melden
    • JoJodeli 06.12.2016 09:50
      Highlight Frage mich auch seit wann 0 durch 100 teilbar ist...
      Ich meine klar, gibt immer 0, aber naja
      3 0 Melden
    • Daniel Huber 06.12.2016 10:11
      Highlight @JoJodeli und The Return of ...: Mathematik macht mir ja auch Kopfweh. Aber ich denke mal, die 0 gilt als natürliche Zahl. Das ist zwar umstritten, aber der Rätselautor geht offenbar davon aus.
      4 2 Melden
    • The Return of The King, Louie the Gscheidhaferl I. 06.12.2016 10:29
      Highlight Und die Null so: "Natürlich bin ich eine Zahl!" Badumm Tsss. Aber wenn wir jetzt so grundstufenmässig das 100er-Reiheli machen würden, würden wir doch nicht mit 0 beginnen, sondern mit 100, ergo ist 100 die erste Zahl, die durch 100 teilbar ist, nicht? Oder anders, das Apfelbeispiel. Du hast keinen Apfel und willst mit 100 Freunden teilen, wie sieht das Resultat aus? Jeder bekommt ein goldiges Nütelinüt und einen feuchten Händedruck. Lösung ist übrigens, du HATTEST mal 100 Freunde.... jetzt nicht mehr. Der Rätselautor wäre ein ziemlich einsamer Mensch, wenn er so teilt ;-)
      11 0 Melden
    • Einer Wie Alle 06.12.2016 22:26
      Highlight Ob 0 eine natürliche Zahl ist?
      Da streiten sich selbst Mathematiker
      2 1 Melden

Klar, die rote und die blaue Fläche sind gleich gross. Aber beweise das mal!

Es ist Wochenende – und das Wetter war auch schon besser. Das heisst: Du hast massig Zeit für dieses kleine Rätsel hier! 

Wir haben da einen Viertelkreis vor uns, in den zwei kleinere Halbkreise eingeschrieben sind: 

Deine Aufgabe: Beweise, dass die rote und die blaue Fläche gleich gross sind! 

Die Figur oben ist ein Viertelkreis. Fügt man alle vier Viertelkreise zusammen, ergibt sich dieser volle Kreis, der vier kleinere, sich überschneidende Kreise enthält: 

Wir stellen nun …

Artikel lesen