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Billard, Billardkugeln (Symbolbild)

Gut, dass man beim Billardspielen die Kugeln in der Regel nicht wägen muss.  Bild: Shutterstock

Dieses Rätsel benötigt nur 9 Kugeln, 1 Waage – und ein bisschen Gehirnschmalz

10.06.17, 20:54 13.06.17, 02:21


170 Gramm wiegt eine Billardkugel, so will es die Norm, jedenfalls beim Poolbillard. Stell dir vor, du hast neun Kugeln vor dir – und eine davon ist geringfügig leichter als die anderen.

Du musst herausfinden, welche es ist. Alles, was dir dafür zur Verfügung steht, ist eine einfache Balkenwaage, mit der du Gewichte vergleichen kannst.

9 Kugeln, 1 Waage, Rätsel

Von neun Billardkugeln ist eine geringfügig leichter als die anderen. Aber welche?  Bild: Shutterstock/watson

Schaffst du es, die leichtere Kugel in nur zwei Wägevorgängen zweifelsfrei zu bestimmen?

Achtung, nach dieser Spoiler-Warnung folgt des Rätsels Lösung!

spoiler alert

Zuerst teilst du die neun Billardkugeln in drei Gruppen (nennen wir sie A, B und C) zu je drei Kugeln ein. 

1. Wägevorgang

Du vergleichst das Gewicht von Gruppe A mit Gruppe B, die restlichen drei Kugeln von Gruppe C lässt du zunächst auf der Seite. Es gibt zwei Möglichkeiten: 

Die Waage ist im Gleichgewicht.
Die Kugeln von Gruppe A und B sind daher alle gleich schwer. Die gesuchte Kugel muss sich also in Gruppe C befinden. 

Rätsel Billardkugeln Waage

Grafik: watson

Die Waage ist nicht im Gleichgewicht.
Die gesuchte Kugel muss sich daher, da sie leichter ist, in derjenigen Waagschale befinden, die nach oben gegangen ist. Hier im Beispiel ist sie also eine der Kugeln von Gruppe A. 

Rätsel Billardkugeln Waage

Grafik: watson

2. Wägevorgang

Falls die Waage beim ersten Wägen im Gleichgewicht war, nimmst du zwei Kugeln aus Gruppe C (nennen wir sie C1 und C2) und vergleichst deren Gewicht auf der Waage; die dritte (C3) lässt du auf der Seite. Auch hier gibt es zwei Möglichkeiten: 

Die Waage ist im Gleichgewicht.
Kugel C1 und C2 sind gleich schwer; die gesuchte Kugel muss C3 sein. 

Rätsel Billardkugeln Waage

Grafik: watson

Die Waage ist nicht im Gleichgewicht.
Die gesuchte Kugel ist mithin jene, die sich in der oberen Waagschale befindet. Hier im Beispiel also Kugel C1. 

Rätsel Billardkugeln Waage

Grafik: watson

Falls die Waage beim ersten Wägevorgang nicht im Gleichgewicht war, nimmst du zwei Kugeln aus jener Gruppe, die sich in der oberen Waagschale befand und gehst ansonsten vor wie oben mit Gruppe C beschrieben. 

Es geht schwieriger!

Auch dieses Rätsel beleidigt deine Intelligenz, weil es viel zu leicht ist? Gut, du hast es nicht anders gewollt! Nimm dies: 

Du hast zwölf Billardkugeln vor dir. Eine davon weicht im Gewicht geringfügig von den anderen ab – du weisst aber nicht, ob sie leichter oder schwerer ist. Wieder steht dir eine einfache Balkenwaage zur Verfügung. Diesmal hast du drei Wägeversuche. Welche Kugel hat ein anderes Gewicht – und ist sie leichter oder schwerer? 

Die Lösung für dieses Rätsel findest du entweder in den Kommentaren (zahlreiche korrekte Lösungswege sind dort inzwischen gepostet worden) oder gleich hier: 

Lösung:

Erneut bildest du drei Gruppen: A, B und C. Diesmal enthält jede 4 Kugeln. 

Erster Wägevorgang

Du vergleichst das Gewicht von Gruppe A mit Gruppe B, die restlichen vier Kugeln von Gruppe C lässt du zunächst auf der Seite. Es gibt drei Möglichkeiten:

1. Die Waage ist im Gleichgewicht.
Die Kugeln von Gruppe A und B sind also alle gleich schwer. Die gesuchte Kugel muss sich daher in Gruppe C befinden. Sie kann leichter oder schwerer sein. 

2. Die A-Kugeln sind oben. 
Falls die gesuchte Kugel leichter ist, muss sie sich in Gruppe A befinden. Falls sie dagegen schwerer ist, befindet sie sich in Gruppe B. Die Kugeln von Gruppe C sind auf jeden Fall normalgewichtig.

3. Die A-Kugeln sind unten.
Hier gilt dasselbe wie unter 2., aber mit vertauschten Rollen. Diesen Fall verfolgen wir deshalb nicht weiter; der Lösungsweg ist ja derselbe wie unter 2.  

Zweiter Wägevorgang

• Nach Fall 1 (die Waage war beim ersten Wägen im Gleichgewicht) nehmen wir 3 Kugeln der Gruppe C und vergleichen sie mit 3 Kugeln der Gruppe A oder B. Die restliche C-Kugel (C4) lassen wir auf der Seite. Es gibt drei Möglichkeiten: 

1.1. Die Waage ist im Gleichgewicht. 
Die gewogenen 3 C-Kugeln sind also normalgewichtig. Die gesuchte Kugel ist C4. Wir wissen aber noch nicht, ob sie schwerer oder leichter ist. 

1.2. Die 3 C-Kugeln sind oben.
Die gesuchte Kugel ist unter den 3 C-Kugeln. Zugleich wissen wir jetzt, dass sie leichter ist. 

1.3. Die 3 C-Kugeln sind unten.
Die gesuchte Kugel ist unter den 3 C-Kugeln. Zugleich wissen wir jetzt, dass sie schwerer ist.

• Nach Fall 2 (die A-Kugeln waren oben) gehen wir anders vor: Wir nehmen 3 Kugeln von Gruppe A plus 1 Kugel von Gruppe B (B1). Diese 4 Kugeln vergleichen wir mit 3 normalgewichtigen C-Kugeln und der restlichen A-Kugel (A4). 3 B-Kugeln lassen wir auf der Seite. Wir wissen dabei, dass die A-Kugeln potenziell leichter, die B-Kugeln dagegen potenziell schwerer sind. Es gibt drei Möglichkeiten: 

2.1. Die Waage ist im Gleichgewicht. 
Die gesuchte Kugel muss sich unter den 3 B-Kugeln auf der Seite befinden. Wir wissen jetzt auch, dass sie schwerer sein muss. 

2.2. Die 3 A-Kugeln plus B1 sind oben.
In diesem Fall muss sich die gesuchte Kugel unter den 3 A-Kugeln befinden. Damit wissen wir auch, dass sie leichter ist. B1 kann es nicht sein, weil sie nur schwerer sein könnte; A4 kann es nicht sein, weil sie nur leichter sein könnte. 

2.3. Die 3 A-Kugeln plus B1 sind unten.
In diesem Fall ist die gesuchte Kugel entweder B1 oder A4. 

Dritter Wägevorgang

• Nach Fall 1.1. müssen wir nur noch bestimmen, ob C4 leichter oder schwerer ist. Wir vergleichen sie zu diesem Zweck mit einer beliebigen anderen Kugel. 

• Nach Fall 1.2. nehmen wir 2 der 3 C-Kugeln und vergleichen sie miteinander. Bei Gleichgewicht ist es die 3., restliche Kugel. Wir wissen bereits dass sie leichter ist. Bei Ungleichgewicht ist es die leichtere der beiden Kugeln. 

• Nach Fall 1.3. gehen wir genau gleich vor, aber diesmal ist die gesuchte Kugel natürlich schwerer. 

• Nach Fall 2.1. tun wir dasselbe mit den 3 B-Kugeln, von denen wir bereits wissen, dass eine von ihnen schwerer ist. 

• Nach Fall 2.2. gehen wir mit den 3 A-Kugeln so vor. Hier ist die gesuchte Kugel leichter, wie wir wissen. 

• Nach Fall 2.3. vergleichen wir A4 mit einer beliebigen anderen Kugel (ausser B1). Bei Gleichgewicht ist die gesuchte Kugel B1 und damit schwerer. Bei Ungleichgewicht ist es A4, die leichter ist. 

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Markus Wüthrich, 5.5.2017
Tolle Artikel jenseits des Mainstreams. Meine Hauptinformations- und Unterhaltungsquelle.

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18
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18Alle Kommentare anzeigen
    Alle Leser-Kommentare
  • Spi 11.06.2017 22:39
    Highlight Mit drei Wägerunden sollte man es doch mit 15 Kugel schaffen!
    0 2 Melden
  • anon 11.06.2017 18:31
    Highlight V3:
    1.1.1 C4 Vergleich C3
    C4 ist L oder S
    1.2.1 C1 Vergleich C2
    C1=C2 -> C3 L oder S ist von V2 bekannt
    C1<>C2 -> C1 oder C2 L oder S ist von V2 bekannt
    2.1.1 B1 Vergleich B2
    B3=B4 -> A4 ist L
    B1<B2 -> B2 ist S
    B1>B2 -> B1 ist S
    2.2.1 A1 Vergleich A2
    A1=A2 -> B2 ist S
    A1<>A2 -> A1 oder A2 ist L

    \o/
    7 2 Melden
    • anon 11.06.2017 19:29
      Highlight Oh sorry, Bei 2.1.1 müsste es natürlich B3<B4 und B3>B4 heissen und B3 ist S bzw. B4 ist S.. :)
      2 0 Melden
  • anon 11.06.2017 18:31
    Highlight 3 4er Gruppen A,B,C
    L = Leichter
    S = Schwerer

    V1:
    1. A=B -> Kugel muss in C sein
    2. A<B -> Kugel kann nicht in C sein
    3. A>B -> Gleiches Vorgehen wie bei 2, aber mit 2B-Kugeln und einer A-Kugel.

    V2:
    1. 3 C1+C2+C3 Vergleich A1+A2+A3
    1.1 A=C -> Kugel = C4
    1.2 A<>C -> Kugel = C1-C3
    2. A1+A2+B1 Vergleich A3+B2+C1
    2.1 A1+A2+B1=A3+B2+C1 -> Kugel muss in A4,B3,B4 sein
    2.2 A1+A2+B1<>A3+B2+C1 -> L können nur A1,A2 sein, schwerer B2

    7 1 Melden
  • mrmouse 11.06.2017 17:06
    Highlight 1. runde: 12> 2x6 kugeln gegeinander abwägen
    2. runde: 6 > 2x 3 kugeln gegeneinander abwägen
    3. runde: wie oben letzte wägerunde. 1 gg 1 - wenn Gleichgewicht dann ist es die dritte... sonst ist es klar :)
    3 6 Melden
    • Einer Wie Alle 11.06.2017 18:08
      Highlight Oder:
      1. Runde:
      2x4 abwägen, falls gleich schwer, die dritten 4 nehmen oder sonst die leichteren vier.

      2. Runde (Variante 1): 1x1 abwägen, falls gleich schwer, zwei verbleibenden nehmen oder sonst ist es bereits die leichtere.

      3. Runde (Variante 1): restliche 1x1 abwägen.

      2. Runde (Variante 2): 2x2 abwägen, die leichteren nehmen.

      3. Runde (Variante 2): restliche 1x1 abwägen.
      0 5 Melden
  • passescribe 11.06.2017 01:51
    Highlight 4 gruppen a 3 kugeln A,B,C,D

    1. Versuch zb. A=B oder A(ungleich)B
    B mit C wechseln
    2. Versuch A=C oder A(ungleich)C,
    falls A=B und A=C dann muss A(ungleich)D, Kugel muss in Gruppr D sein
    falls A=B und A(ungleich)C dann muss A=D,
    Kugel muss in Gruppe C sein
    etc.
    (man muss sich merken, ob die Gruppe mit der gesuchten Kugel schwerer oder leichter als die anderen Gruppen war, hier zb schwerer)

    3. Versuch Gruppe mit betreffender Kugel (zb A) nehmen und A1 und A2 je eine auf eine Waagenseite legen.
    falls A1=A2 dann stimmt A3
    falls A1(ungleich)A2 dann ist zb schwerere Kugel die gesuchte

    no life😑
    5 6 Melden
  • Joram Nathanael Pollak 10.06.2017 23:54
    Highlight Drei 4er-Gruppen:
    2 Wägevorgänge zum Bestimmen der Abweichungsrichtung und der Gruppe:
    Versuch 1: Gruppen A und B
    Versuch 2: Gruppen A und C
    - Beide Versuche im Ungleichgewicht
    --> Gruppe A, Abweichungsrichtung selbsterklärend
    - Versuch 1 im Ungleichgewicht
    --> Gruppe B, Abweichungsrichtung selbsterklärend
    - Versuch 2 im Ungleichgewicht
    --> Gruppe C, Abweichungsrichtung selbsterklärend
    Danach pro Schale 2 Kugeln der entsprechenden Gruppe vergleichen und dann die beiden, die in die Abweichungsrichtung gehen.
    3 13 Melden
  • tux_ping 10.06.2017 23:29
    Highlight Wenn die Waage beim ersten Mal wiegen im Gleichgewicht war, nimmt man von den übrigen 4 Kugeln drei und wiegt sie mit drei Kugeln aus den initialen 8 (von denen man in diesem Fall ja weiss, dass sie ein normales Gewicht haben). Ist die Waage im Gleichgewicht, ist die vierte Kugel der Kandidat (bei welchem man mittels Wiegen mit einer Referenzkugel noch ermitteln muss, ob er schwerer / leichter ist). Wenn die Waage nicht im Gleichgewicht ist, weiss man ob die drei Kugeln schwerer / leichter sind und kann zwei miteinander wiegen. Ist die Waage im Gleichgewicht, ist die dritte Kugel der Kandidat.
    7 2 Melden
  • tux_ping 10.06.2017 23:29
    Highlight Man hat nun also noch drei (von denen man weiss, dass die Kugel schwerer oder leichter sein muss) oder zwei (eine von der "leichteren" Seite und eine von der "schwereren" Seite) Kandidaten. Somit ist es trivial, die Kugel herauszufinden (im Falle der drei Kugeln, eine auf die Seite legen und die beiden wiegen; im Falle der zwei Kugeln eine Kugel mit einer normalen Kugel wiegen). (...)
    6 2 Melden
  • tux_ping 10.06.2017 23:29
    Highlight Ist die Waage nicht im Gleichgewicht, werden zwei Fälle unterschieden: 1.) Die Waage ist auf der Seite, wo wir eine Kugel der "schwereren" Seite platziert haben und drei normale: Man hat noch zwei Kandidaten (da ja die eine "leichtere" der anderen Seite auch in Frage kommt) 2.) Die Waage ist auf der Seite, wo die drei der "schwereren" Seite sind und die eine der "leichteren" platziert sind: Es kommen noch die drei Kugeln der "schwereren" Seite in Frage. (...)
    5 0 Melden
  • tux_ping 10.06.2017 23:29
    Highlight Lösung für die 12 Kugeln:
    Man nimmt 8 Kugeln aus der Gruppe und legt je 4 auf eine Seite. Wenn die Waage nicht im Gleichgewicht ist, legt man 3 Kugeln der "schwereren" Seite und 1 Kugel der "leichteren" Seite auf eine Seite und die vierte Kugel der "schweren Seite" auf die andere Seite. Die restlichen drei Plätze füllt man mit Kugeln, die bisher nicht gewogen wurden (von denen man ja jetzt weiss, dass sie alle normal viel wiegen). Ist die Waage nun im Gleichgewicht, weiss man, dass der Kandidat unter den restlichen drei Kugeln der "leichteren" Seite ist. (...)
    5 0 Melden
  • kaderschaufel 10.06.2017 22:53
    Highlight ich möchte hier wirklich jeden ermutigen, das Rätsel mit den 12 Kugeln in den nächsten drei Tagen zu probieren. es ist nicht einfach, aber sehr befriedigend wenn man es geschafft hat.

    ich persönlich hatte dieses Rätsel zum ersten Mal gehört, als ich 14 Jahre alt war, und scheiterte zuerst am Versuch es zu lösen. Dann probierte ich es zwei Jahre später nochmal, und konnte es mit einiger Anstrengung tatsächlich lösen.
    3 0 Melden
  • Fulehung1950 10.06.2017 22:35
    Highlight Ich mache 3 Gruppen à 4 Kugeln A, B, C

    1. Wägung: A vs B

    Wenn die Waage im Gleichgewicht, ist die gesuchte Kugel in C

    2. Wägung: (C1 und C2 ) vs (C3 und C4)

    Wenn die Waage wird im Ungleichgewicht sein!
    Annahme: L(inks) schwerer als R(echts)

    3. Wägung: C1 geht von L nach R, C3 von R nach L

    Möglichkeiten:

    L ist immer noch schwerer: C4 ist leichter als alle andern

    R ist neu schwerer: C3 ist leichter als alle andern

    Oder so oder halt dann doch nicht❓❓❓❓❓
    4 2 Melden
  • nostawrivelo 10.06.2017 21:32
    Highlight Im ersten Schritt wägt man 6 Kugeln gegen 6 Kugeln.

    Diejenigen 6 Kugeln welche schwerer sind werden jetzt halbiert und nocheinmal gewägt.

    Es werden erneut die 3 schwereren Kugeln genommen und 1 gegen 1 Kugel gewägt, die andere legt mam beiseite.
    So findet man die schwerere, wenn beide im Gleichgewicht sind dann ist die beiseite gelegte Kugel die gesuchte.

    Dieses finde ich sogar einfacher als das erste..
    3 11 Melden
    • tux_ping 11.06.2017 01:01
      Highlight Und woher weisst du, dass die Kugeln schwerer sind und nicht die anderen leichter?
      Ganz so einfach geht's nicht...
      7 0 Melden
    • Charlie Brown 11.06.2017 06:40
      Highlight Wenn es einfacher scheint ist die Antwort wohl falsch...

      Lies die Aufgabe noch einmal, du hast einen wichtigen Punkt missachtet.
      6 0 Melden
    • etrigan 11.06.2017 08:35
      Highlight laut rätsel ist aber nicht bekannt ob die abweichende kugel leichter oder schwerer ist....
      3 0 Melden

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