Die Hängepartie für Shinichi Mochizuki geht weiter. 2012 hatte der japanische Mathematiker einen Beweis vorgelegt, der ein Meilenstein in der Zahlentheorie sein könnte. Es geht um die legendäre abc-Vermutung, die sich mit Teilern natürlicher Zahlen beschäftigt.
In Oxford hatten sich nun renommierte Experten seines Fachs versammelt, um den Hunderte Seiten langen Beweis zu begutachten. Doch die Zahlentheoretiker verliessen das mehrtägige Treffen fast genauso ratlos, wie sie gekommen waren.
«Es gibt immer noch keine Klarheit darüber, wie sich die einzelnen Puzzlestücke zusammenfügen», sagte der Mathematiker Kiran Kedlaya von der University of California in San Diego dem Magazin Nature. Der Frankfurter Zahlentheoretiker Jakob Stix erklärte: «Wir haben einiges Neues gelernt.» Aber wirklich verstanden habe den Beweis bislang wohl niemand.
Mochizuki selbst war gar nicht zum Workshop an das berühmte Clay Mathematics Institute gekommen. Er verlässt mittlerweile nur noch ungern Kyoto, wo er am Research Institute for Mathematical Sciences (RIMS) der Kyoto University forscht. Immerhin beantwortete der Japaner via Skype Fragen der Workshop-Teilnehmer, ohne allerdings wirklich dazu beizutragen, dass sein Beweis endlich verifiziert werden konnte.
Die abc-Vermutung stammt aus den achtziger Jahren und ist damit vergleichsweise jung. Sie elektrisiert Mathematiker vor allem deshalb, weil es viele andere Aussagen aus dem Spezialgebiet der Zahlentheorie gibt, deren Gültigkeit bewiesen wäre, sofern die abc-Vermutung zutrifft.
Dazu gehört unter anderem der Grosse Fermatsche Satz – ein Problem, dessen Lösung Mathematiker mehr als 300 Jahre beschäftigt hat. Der Satz besagt, dass die Gleichung an + bn = cn für n>2 keine Lösung für natürliche Zahlen (ganze Zahlen ab Null) a, b, c besitzt. Der Beweis gelang erst 1994.
Die abc-Vermutung ist etwas komplizierter als der Grosse Fermat, aber trotzdem noch gut zu verstehen. Auch darin geht es um drei natürliche Zahlen a, b und c, wobei c die Summe aus a und b ist und alle drei Zahlen keine gemeinsamen Teiler besitzen.
a + b = c
Nehmen wir als Beispiel die Zahlen 25, 27 und 52. Es gilt:
25 + 27 = 52
Diese drei Zahlen sind auch teilerfremd, denn 25 = 5*5, 27 = 3*3*3 und 52 = 2*2*13. Nun bildet man das sogenannte Radikal dieser drei Zahlen. Es ist das Produkt aller in ihnen enthaltenen Primzahlen, wobei mehrfach auftretende Primzahlen wie zum Beispiel die 5 nur einmal berücksichtigt werden. So erhalten wir:
Radikal (abc) = 2*3*5*13 = 390
Die abc-Vermutung besagt nun, dass dieses Radikal bis auf wenige Ausnahmen immer grösser ist als die Zahl c.
Mochizukis Beweisvorschlag aus dem Jahr 2012 besteht aus vier Teilmanuskripten mit zusammen 500 Seiten. Doch nicht nur der Umfang der Arbeit, vor allem die selbst aus Sicht hartgesottener Mathematiker kaum durchdringbaren Gedankengänge haben alle bisherigen Versuche scheitern lassen, die Arbeit zu erfassen.
Mochizuki benutzt darin eine neue, von ihm entwickelte Theorie, die er wenig bescheiden «inter-universelle Geometrie» nennt. «Wenn man sich das anschaut, glaubt man ein Paper aus der Zukunft zu lesen, etwas aus dem fernen Weltall», schrieb Jordan Ellenberg, Zahlentheoretiker der University of Wisconsin-Madison, in seinem Blog nach der ersten Durchsicht der Arbeit.
Jakob Stix von der Goethe-Universität Frankfurt am Main bezweifelt hingegen, dass es sich um völlig neuartige Methoden handelt: «Das ist nach meinem Eindruck konventionelle Mathematik, sie ist nur ungewöhnlich aufgeschrieben.» Das erschwere die Prüfung der Arbeit jedoch zusätzlich.
Der Japaner beziehe sich im Beweis zudem auf umfangreiche Vorarbeiten. «Viele davon sind in grosser Allgemeinheit verfasst, die man aber, wie sich zumindest bislang gezeigt hat, für das Verständnis nicht unbedingt braucht.» Der Beweis müsse vor allem verschlankt werden, so das Fazit des Frankfurter Professors.
Dass mathematische Beweise immer länger und komplizierter werden, lässt sich allerdings kaum verhindern – zumindest nicht für Probleme, an denen sich Forscher schon seit Jahrzehnten die Zähne ausbeissen. Wenn es eine elegante, kurze Lösung dafür gäbe, dann hätte sie wahrscheinlich längst jemand gefunden, lautet die Argumentation.
Dass seine Arbeit bislang niemand so recht durchdrungen hat, könnte auch mit Mochizukis Persönlichkeit zu tun haben. Der Japaner reist mittlerweile nur noch ungern und schlägt Einladungen von Kollegen aus. Seit 15 Jahren tüftelt er zurückgezogen an der abc-Vermutung. Manche Kollegen stören sich an arroganten Äusserungen, etwa wenn Mochizuki Mathematikern erklärt, sie müssten ihre über Jahrzehnte liebgewonnenen Denkmuster abschalten, wenn sie seine Arbeit verstehen wollten.
Ein wenig erinnert der Japaner auch an den russischen Mathematiker Gregorij Perelman. Der machte weltweit Schlagzeilen, als er die Poincaré-Vermutung bewies. Perelman lebt seit langem zurückgezogen in St.Petersburg, die Annahme von Preisen für seine spektakulären Arbeiten lehnte er ab.
Noch aber ist nicht klar, ob Mochizuki künftig tatsächlich in einem Atemzug mit Perelman und der Mathematik-Legende Alexander Grothendieck genannt wird. Der nächste Workshop über seinen Beweis ist für Juli 2016 in Kyoto geplant. Dort könnte der 46-Jährige seine Gedankengänge persönlich erläutern – vielleicht fällt dann ja bei dem einen oder anderen Kollegen der Groschen.
