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Mädchen beim Nachdenken (Symbolbild)

Solche Rätsel sind immer eine gute Gelegenheit für äusserst überzeugend wirkende Symbolbilder.  Bild: Shutterstock

Klar, die rote und die blaue Fläche sind gleich gross. Aber beweise das mal!



Es ist Wochenende – und das Wetter war auch schon besser. Das heisst: Du hast massig Zeit für dieses kleine Rätsel hier! 

Wir haben da einen Viertelkreis vor uns, in den zwei kleinere Halbkreise eingeschrieben sind: 

Kreisrätsel

Bild: Kobon Fujimura

Deine Aufgabe: Beweise, dass die rote und die blaue Fläche gleich gross sind! 

Achtung, nach dieser Spoiler-Warnung folgt des Rätsels Lösung!

spoiler alert

Die Figur oben ist ein Viertelkreis. Fügt man alle vier Viertelkreise zusammen, ergibt sich dieser volle Kreis, der vier kleinere, sich überschneidende Kreise enthält: 

Kreisrätsel

Bild: Kobon Fujimura

Wir stellen nun fest: 

  1. Die Gesamtfläche der vier kleinen, sich überschneidenden Kreise (= die blauen und weissen Teile zusammen) ist gleich gross wie die Gesamtfläche von vier solchen Kreisen abzüglich deren Schnittfläche (= die blauen Teile).
  2. Die Fläche des grossen Kreises abzüglich der roten Teile ist gleich gross wie die Gesamtfläche der weissen und blauen Teile. 

Mit diesen Angaben im Kopf stellen wir jetzt folgende Berechnungen an: 

Damit können wir die beiden zuvor erwähnten Feststellungen wie folgt umformulieren: 

  1. Die blauen und weissen Teile sind zusammen gleich gross wie π•r2 abzüglich der blauen Teile. 
  2. Die blauen und weissen Teile sind zusammen gleich gross wie π•r2 abzüglich der roten Teile. 

Beide Feststellungen sind wahr, daher müssen die blauen Teile gleich gross sein wie die roten. 

Das Rätsel stammt aus «The Tokyo Puzzles» von Kobon Fujimura. 

Wie schwierig war dieses Rätsel?

(dhr)

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15Alle Kommentare anzeigen
    Alle Leser-Kommentare
  • The Count 22.07.2018 12:18
    Highlight Highlight "Die Gesamtfläche der vier kleinen, sich überschneidenden Kreise (= die blauen und weissen Teile zusammen) ist gleich gross wie die Gesamtfläche von vier solchen Kreisen abzüglich deren Schnittfläche (= die blauen Teile)."

    Oder auch: Die blauen und weissen Teile zusammen sind gleich gross wie nur die weissen Teile.

    Diese Aussage kann unmöglich stimmen.
  • Stefan.Alex.H 22.07.2018 00:30
    Highlight Highlight - Bild ausdrucken
    - Blaue und Rote Teile ausschneiden
    - Auf die Waage legen
    - Beweis erbracht ;)
  • TodosSomosSecondos 22.07.2018 00:27
    Highlight Highlight Viertel- bzw. Halbkreise als Funktionen beschriebenen und ein einfache Integralrechnung und das ganze geht ohne Malbuch und Heuristik..
  • Ruggedman 21.07.2018 23:00
    Highlight Highlight Geometrie?!? Blääh!
    • Einer Wie Alle 22.07.2018 12:51
      Highlight Highlight Was Blääh!? Ist doch logisch!
  • marcog 21.07.2018 22:58
    Highlight Highlight Wenn man integrieren kann, ist das Problem nicht schwer :-)
  • FrancoL 21.07.2018 22:43
    Highlight Highlight Die Vollkreislösung ist mehr als umständlich. Die Halbkreise im Viertelkreis haben die Fläche des Viertelkreises. Was überschneidet (blau) ist immer gleich der nicht enthaltenen Aussenfläche (rot).
  • Sapientia et Virtus 21.07.2018 21:21
    Highlight Highlight Mir erscheint der Lösungsweg etwas umständlich. Haben die geraden Strecken die Länge r, so gilt für die rote Fläche (gemäss Mengenlehre) A_rot = pi*r^2/4 - 2*pi/2*(r/2)^2 + A_blau oder A_rot = pi*r^2/4 - pi*r^2/4 + A_blau oder schliesslich A_rot = A_blau
    • nödganz.klar #161 22.07.2018 10:34
      Highlight Highlight 😁
      Benutzer Bild
  • MadScientist42 21.07.2018 20:20
    Highlight Highlight Wenn man die blaue Fläche der Länge nach halbiert und damit die rote Fläche zu einem Kreissegment ergänzt, ergibt das die gleiche Form, nur mit doppelt so grossem Durchmesser, wie die halbierte blaue Fläche.
    Doppelter Durchmesser → Vierfache Fläche
    Somit sind die blaue und rote Fläche gleichgross
  • Maya Eldorado 21.07.2018 20:11
    Highlight Highlight Ganz einfach: Das sind die Farben des FCB. Das genügt, mehr braucht man nicht zu wissen.
    • thedario1111 22.07.2018 10:43
      Highlight Highlight Meinst du Barcelona?
  • Alju 21.07.2018 19:02
    Highlight Highlight Doppelter Radius => 4-fache Fläche:
    Ein kleiner Kreis ist exakt so gross wie 1/4 des grossen Kreises. Somit muss die Schnittfläche (blau) zwingend genau so gross sein wie die Rote.
    • Til 21.07.2018 20:08
      Highlight Highlight Genau so hab ich's auch gedacht und war verblüfft, wie kompliziert man das erklären kann.
    • El_Sam 21.07.2018 21:13
      Highlight Highlight Hab mich auch gefragt, wieso man über den vollkreis gehen muss.

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