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Rätsel der Woche Pyramiden-Problem

Fügen Sie die beiden Pyramiden an den Dreiecken ABC und EFG zusammen.
Bild: Spiegel Online

Das Rätsel der Woche: Bauprojekt mit zwei Pyramiden

Diese Knobelaufgabe sorgte 1980 für Verwirrung unter US-Schülern. Meistern Sie das Rätsel der zwei Pyramiden, die zu einem Körper zusammengesetzt werden sollen?

Holger Dambeck



Ein Artikel von

Spiegel Online

Es war eine Prüfung, über die viel diskutiert wurde: Im Oktober 1980 bearbeiteten Millionen High-School-Schüler in den USA einen Fragebogen des Preliminary Scholastic Aptitude Tests. Die erreichten Punktzahlen waren und sind bis heute ein wichtiger Faktor bei der Bewerbung um begehrte Uni-Stipendien. Zu den besonders kniffligen Aufgaben gehörte das folgende Geometrie-Problem:

Gegeben sind zwei Pyramiden.

Eine hat eine dreieckige Grundfläche, es handelt sich um ein sogenanntes regelmässiges Tetraeder mit vier Seitenflächen.

Bei der anderen Pyramide bildet ein Quadrat die Grundfläche, die vier dreieckigen Seitenflächen sind ebenfalls gleichseitig. Dieser Körper hat daher fünf Seitenflächen.

Sämtliche Kanten bei beiden Pyramiden sind gleich lang. Deshalb passt das Dreieck ABC des Tetraeders auch genau auf das Dreieck EFG der anderen Pyramide. Man kann beide Pyramiden daher genau so zusammenfügen, dass die beiden Flächen exakt aufeinanderstossen.

Nun die Frage: Wie viele Aussenflächen hat der dadurch entstandene Körper?

Sind es:

Achtung, nach dieser Spoiler-Warnung folgt des Rätsels Lösung!

spoiler alert

Viele Schüler hatten allerdings c angekreuzt – also 7 Flächen. Und das war auch die ursprünglich als richtig vorgegebene Lösung. Die Argumentation dafür geht so:

Wenn man die zwei Körper mit 5 und mit 4 Aussenflächen zusammenfügt, verschwinden zwei Seitenflächen im Innern des neu entstehenden Körpers. Also erhält man 5 + 4 - 2 = 7 Flächen.

Doch diese Lösung stimmt nicht, wie die Autoren des Tests später einräumen mussten. Denn an dem neuen Körper stossen zweimal jeweils zwei Dreiecke so aneinander, dass sie in einer Ebene liegen.

Am besten versteht man das, wenn die Pyramide mit der viereckigen Grundfläche kopiert und die Kopie genau neben das Original stellt. In der folgenden Zeichnung haben diese beiden Pyramiden transparent-weisse Aussenflächen.

Rätsel der Woche Pyramiden-Problem

Lösung: Tetraeder (rot) füllt genau den Raum zwischen den beiden Pyramiden. 
Bild: Spiegel Online

In die Lücke zwischen den beiden weissen Pyramiden passt dann genau das rot gezeichnete Tetraeder. Es füllt den Raum zwischen den Spitzen der beiden Pyramiden von oben bis unten vollständig aus – die entstehende Figur erinnert an ein Zelt.

Nun kommt der entscheidende Punkt: Die eine rote und die zwei daran grenzenden weissen Seitenflächen liegen in einer Ebene – und zwar sowohl auf der Vor- wie auf der Rückseite des Zelts.

Jetzt können wir uns eine der weissen Pyramiden wieder wegdenken – übrig bleibt genau der Körper, um den es in diesem Rätsel geht. Die Zahl seiner Aussenflächen ist dann nicht 7, sondern 7 - 2 = 5. Denn zweimal liegen je zwei Dreiecke in einer Ebene und bilden jeweils eine gemeinsame Aussenfläche

Innen und aussen

Wie aber kommt man auf die Lösung von 8 Aussenflächen? Nun, man könnte das Tetraeder theoretisch ja auch so in die Pyramide mit quadratischer Grundfläche setzen, dass es diese durchdringt. Die Tetraederspitze würde dann die Aussenfläche der Pyramide durchstossen. Und weil die Spitze drei Seitenflächen hat, ergeben sich 5 + 3 = 8 Flächen.

Die Ergebnisse des Tests von 1980 mussten übrigens in Nachhinein korrigiert werden. Immerhin hatten 240'000 Schüler die Antwort a gewählt (5 Flächen). Die eigentlich falsche Antwort c (7) wurde aber weiterhin als richtig gewertet.

Die offenbar nur sehr selten gewählte, eher theoretische Variante d (8 Flächen) hingegen galt auch nach der Korrektur als falsch. Was einen Mediziner von der Columbia University zu einem lustigen Statement in der «New York Times» animierte: Die Antwort als falsch zu werten, klagte David Forrest, diskriminiere «künftige Internisten und Psychoanalytiker, die von Anfang an davon ausgegangen sind, dass alles eine Innenseite hat».

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7Alle Kommentare anzeigen
    Alle Leser-Kommentare
  • Spi 08.08.2016 12:48
    Highlight Highlight Huii, da muss ich Zuhause mal Zündhölzli und Leim hervor kramen.
  • pamayer 07.08.2016 22:09
    Highlight Highlight Ganz einfach und voll daneben, s'sind 5 und nicht 7 Ebenen. Genial simpel.
  • Matrixx 07.08.2016 17:58
    Highlight Highlight Das ist Schwachsinn. Der gezeigte Tetraeder und das im Bild sichtbare rote Objekt sind 2 verschiedene Körper.
    • JFKeller 07.08.2016 20:23
      Highlight Highlight Seh ich auch so...
    • Matrixx 07.08.2016 22:31
      Highlight Highlight Ein Tetraeder hat keine 2 gegenüberliegende Flächen. Für die hier gezeigte Lösung bräuchte er aber jeweils 2 gegenüberliegende Flächen auf beiden Seiten.
    • fabianhutter 08.08.2016 08:34
      Highlight Highlight Das Tetraeder liegt schief da... wenn Sie die Kanten des roten Objekts durchgehen, werden Sie sehen, dass alle Kanten die gleiche Länge haben. und somit zusammen ein Teraeder ergeben.

      Das Bild ist auf den ersten Blick ein wenig verwirrend...
  • John Smith (2) 07.08.2016 17:40
    Highlight Highlight Ist das Absicht, dass die gezeigten Pyramiden nicht gleich lange Kanten haben? So mit der Idee, das Vorstellungsvermögen der Leser zusätzlich zu testen?

    Die Lösung kann man sich übrigens noch viel einfacher überlegen: Da die Kanten gleich lang sind und beide zusammengelegten Pyramiden oben zusammenlaufen, müssen die Flächen die gleiche Neigung haben.

Chinesische Schulkinder mussten dieses Rätsel lösen. Schaffst du es auch?

Alles, was dieses Rätsel braucht, ist eine Katze, eine Schildkröte und ein Tisch. Die Katze sitzt auf dem Tisch, während die Schildkröte sich auf dem Boden befindet (Abbildung links). Der Abstand von den Ohrenspitzen der Katze bis zum Schild der Schildkröte beträgt exakt 170 cm.

Wenn die beiden Tiere ihren Standort vertauschen, beläuft sich der Abstand noch auf 130 cm (Abbildung rechts).

Die Frage ist nun: Wie hoch ist der Tisch?

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