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Rätsel der Woche: Vier Freunde, zwei Aussagen, eine Lüge – welche Zahl ist gesucht?

Vier Freunde denken sich gemeinsam eine Zahl aus und verraten einige Details darüber. Dummerweise widersprechen sie sich dabei. Die Lösung findest du trotzdem, oder?

Holger Dambeck / spiegel online



Ein Artikel von

Spiegel Online

Wenn du gut mit Zahlen kannst, wird dir die folgende Aufgabe sicher gefallen. Gestellt wurde sie Schülern der 10. Klasse bei der Mathematikolympiade im Jahr 2010. Und zwar in der Regionalrunde, der zweiten von vier Stufen. Sie gehört damit zu den anspruchsvolleren, aber noch nicht wirklich schwierigen Aufgaben.

Agneta, Bert, Clara und Dennis haben sich gemeinsam eine natürliche Zahl ausgedacht und auf einen Zettel geschrieben. Ihre Freunde sollen die Zahl erraten und deshalb machen die vier jeweils zwei Aussagen dazu:

ACHTUNG! Um das Rätsel noch ein bisschen schwieriger zu machen, erklären die vier ausserdem, dass jeder von ihnen bei einer seiner zwei Aussagen die Wahrheit gesagt hat und bei der anderen nicht.

So und nun bist du dran: Finde alle Zahlen, die auf dem Zettel stehen könnten!

Im Anschluss folgt die Lösung.

spoiler alert

Die Aufgabe erscheint erst einmal unübersichtlich – alle denkbaren Varianten einzeln durchzuprüfen, könnte ein Weilchen dauern. Aber wenn wir uns die Aussagen der vier Personen genauer anschauen, können wir einiges ausschliessen und kommen schnell voran. Wir beginnen mit Agneta:

A1: Die Zahl ist dreistellig.
A2: Das Produkt aller Ziffern ist 23.

A2 kann nicht stimmen, weil 23 eine Primzahl ist und deshalb 23 als Ziffer in der gesuchten Zahl auftauchen müsste. Das geht jedoch nicht, denn es existieren in unserem Dezimalsystem nur Ziffern von 0 bis 9. Also muss Aussage A1 stimmen – die Zahl ist dreistellig.

Weiter geht es mit Bert:

B1: Die Zahl ist durch 37 teilbar.
B2: Die Zahl besteht aus drei gleichen Ziffern.

Wir prüfen, ob seine zweite Aussage (B2) zutreffen kann, also ob die Zahl aus drei gleichen Ziffern bestehen kann. Passt das zu dem, was Clara gesagt hat?

C1: Die Zahl ist durch 11 teilbar.
C2: Die Zahl endet mit Null.

Wenn B2 wahr wäre und zugleich C2, müsste die Zahl aus drei Nullen bestehen, was natürlich nicht geht. Wären stattdessen B2 wahr und C1, würde unsere gesuchte Zahl aus drei gleichen Ziffern bestehen und zugleich durch 11 teilbar sein. Aber eine solche Zahl gibt es nicht, wie man leicht überprüfen kann. Denn 110, 220, 330 und so weiter sind Vielfache von 11, nicht aber 111, 222, 333 und so weiter.

Aus alldem folgt: B2 passt weder zu C1 noch zu C2, ist also falsch. B1 ist wahr. Wir suchen also eine dreistellige Zahl, die durch 37 teilbar ist und zudem entweder durch 11 teilbar ist (C1) oder auf Null endet (C2).

Im ersten Fall sind als Lösungen 11x37=407 oder 2x11x37=814 möglich. Im zweiten Fall kommt man auf 370 oder 740.

Es fehlen nur noch die Aussagen von Dennis:

D1: Die Quersumme ist grösser als 10.
D2: Die Ziffer der Hunderterstelle ist weder die grösste noch die kleinste der Ziffern.

Sofern D1 wahr ist und D2 falsch, passen nur 740 und 814 zu den Aussagen. In beiden Fällen ist die erste auch die grösste der drei Ziffern.

Ist hingegen D1 falsch und D2 richtig, kommt nur 370 in Frage.

Fazit: Es gibt keine eindeutige Lösung. Auf dem Zettel stand entweder 370, 740 oder 814.

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    Alle Leser-Kommentare
  • MeinSenf 26.07.2016 15:58
    Highlight Highlight Folgendes müsste man noch berücksichtigen. Falls in der Originalaufgabenstellung geschrieben steht, dass die Lösung eindeutig sein muss, dann ist die korrekte Antwort nur 370 (d.h. D1 falsch und D2 richtig). Denn falls D2 falsch und D1 richtig wäre, gäbe es keine eindeutige Lösung.
    • seuris 26.07.2016 17:29
      Highlight Highlight Wenn in der Aufgabenstellung steht das es nur 1e richtige lösung gebe müsten sie das genauer Spezifizieren. Sonst macht das absolut keinen Sinn. Das wäre wie ich sagenwürde: Sag mir die einzige Lösung zu
      2x = 3y
  • Shin Kami 26.07.2016 15:56
    Highlight Highlight Das ist nicht wirklich ein gutes Rätsel, wenn man eine Zahl verlangt und es mehrere Lösungen gibt. Ich bin drauf gekommen, habe aber zeit damit verschwendet alles nochmal durchzurechnen, weil ich dachte, dass ich etwas übersehen hätte...
  • e#a 26.07.2016 14:59
    Highlight Highlight Tolles Rätsel! Da kann man sogleich selber Varianten davon kreieren. Zum Beispiel (für Leute die noch mehr wollen):

    A1 Die Zahl ist prim.
    A2 Die Zahl enthält die Ziffer 2.

    B1 Die Zahl ist ein Palindrom.
    B2 Die Quersumme der Zahl grösser als 8.

    C1 Die Zahl besteht aus drei identischen Ziffern.
    C2 Die Ziffern der Zahl bilden von links nach rechts eine echt aufsteigende (endliche) geometrische Folge.

    D1 Die Zahl ist ungerade.
    D2 Die Zahl ist ein Vielfaches von 2 aber nicht von 4.

    Falls der Begriff "geometrische Folge" nicht bekannt ist: Wikipedia.

    Viel Spass.
    • e#a 26.07.2016 19:29
      Highlight Highlight Ich skizziere hier mal meine Lösung. Es gibt ein paar Möglichkeiten mehr, an die ich ursprünglich nicht gedacht habe.

      Wir nehmen C1 an. Dann gilt A1 sicher nicht (alle sind teilbar durch 3), also A2 und somit 222. Erfüllt B1 und B2 nicht ebenso D2 und D1 nicht, ist also eine Lösung.

      Wir nehmen C2 an. Mögliche Kandidaten sind einstellige Zahlen; zweistellige bei denen die zweite Zahl grösser als die erste ist (z.B. 19) und dreistellige, bei denen die Ziffern die Form z az a^2z haben (a eine rationale Zahl grösser 1 und z die Ziffer ganz links).
      Also 124, 139, 248 und 469 (4, 4*3/2, 4*9/4).
    • e#a 26.07.2016 19:40
      Highlight Highlight Hier alle meine Lösungskandidatinnen:

      Falls C1: 222

      Falls C2:
      Einstellig: 3,5 und 7
      Zweistellig: 19, 27, 37, 47, 59, 67, 79 und 89.
      Dreistellig: 139

      Ich habe beim Erstellen der Aufgabe nicht an die ein- und zweistelligen Lösungen gedacht. Durch geschicktere Wahl von B2 hätte man diese noch ausschliessen können. Ebenso habe ich nicht an 469 als geometrische Folge gedacht, sonst hätte ich geschaut, dass sie auch eine mögliche Lösung ist. Leider ist es keine Primzahl (7 * 67). :-).
  • Sveminem 26.07.2016 08:51
    Highlight Highlight Habt ihr in den Lösungen nicht noch 407 vergessen? Würde zu beiden Aussagen (D1 &D2) passen...
    • Davethedang 26.07.2016 10:12
      Highlight Highlight Wollte ich auch gerade anmerken. Hab ich was verpasst?
    • Meet The Mets 26.07.2016 10:59
      Highlight Highlight Da alle 4 einmal die Wahrheit sagen und einmal lügen, kann es nicht sein, dass beide Aussagen D1 und D2 auf die Zahl zutreffen. Darum fliegt 407 weg.
    • getfricki 26.07.2016 11:11
      Highlight Highlight 407 stimmt für D1 und für D2. Nur eine der beiden Aussagen soll aber der Wahrheit entsprechen. Darum fällt diese Zahl raus.
    Weitere Antworten anzeigen
  • MadScientist42 26.07.2016 08:13
    Highlight Highlight Super Rätsel!
    Als Mathe-Freak sind das die Rätsel, die mir Spass machen.
    Zum Glück musste man nur zwei Fallunterscheidungen machen und nicht vier, da die ersten beiden Personen recht offensichtliche Aussagen machten. Sonst wäre es ziemlich mühsam geworden.
    • Louie König 26.07.2016 09:33
      Highlight Highlight Ich als Matheniete habe da aber eine Frage. Macht man die Quersumme nicht immer bis man nur noch 1 Zahl hat? Also bei 407 wäre es dann 2, da zuerst 4+0+7=11 dann 1+1=2? Oder ist es immer nur bis zur Summe der ursprünglichen Zahlen, ohne erneute Quersumme?
    • C0BR4.cH 26.07.2016 09:50
      Highlight Highlight Also ich dachte, es ist immer nur bis zur Summe.
      Wenn du weiter rechnest, wär das dann quasi die Quersumme der Quersumme : D
    • Louie König 26.07.2016 09:55
      Highlight Highlight @Mr. C: Ja, da hast du wohl recht. Naja, wie gesagt, ich bin eh eine Niete in Mathe XD Aber ez hab ich mal wieder was gelernt ;-)
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