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Rätsel der Woche

Kachelung aus Dreiecken und Sechsecken.  Bild: Spiegel Online

Rätsel der Woche: Lass es kacheln!

Was für ein hübsches Muster aus schwarzen Dreiecken und gelben Sechsecken! Man könnte die ganze Welt damit kacheln. Nur: Wie hoch wäre dann wohl der Anteil schwarzer Flächen?

Holger Dambeck



Ein Artikel von

Spiegel Online

Die folgende Knobelaufgabe stammt aus einem Mathetest, an dem im Februar mehr als 200'000 britische Schüler teilgenommen haben. Die 13- bis 16-Jährigen hatten für die insgesamt 25 Aufgaben genau eine Stunde Zeit. Organisiert wird der Intermediate Challenge genannte Test vom United Kingdom Mathematics Trust.

Der Schwierigkeitsgrad variierte. Während es in den ersten Aufgaben vor allem um elementare Fähigkeiten wie Bruchrechnung oder räumliches Denken ging, waren die Aufgaben im zweiten Teil deutlich anspruchsvoller. Besonders gut gefallen hat mir Frage 25, in der es um eine zweifarbig gekachelte Fläche geht.

Stell dir vor, du stehst in einem unendlich grossen Raum. Der Boden ist mit sechseckigen und dreieckigen Fliesen ausgelegt. Die Dreiecke sind schwarz, regelmässig und alle gleich gross, die Sechsecke sind gelb, regelmässig und ebenfalls alle gleich gross. Die Seitenlänge der Dreiecke ist exakt halb so lang wie jene der Sechsecke – siehe folgende Zeichnung: 

Rätsel der Woche

Bild: Spiegel Online

Wenn du den gekachelten Boden von oben betrachtest: Welchen Anteil hat dann die Farbe Schwarz an der Gesamtfläche?

Hinweis: Wir gehen der Einfachheit halber davon aus, dass die Fugen zwischen den Fliesen vernachlässigt werden, also eine Breite von Null haben.

Achtung, nach dieser Spoiler-Warnung folgt des Rätsels Lösung!

spoiler alert

Auf dem Boden liegen genau doppelt so viele schwarze Kacheln wie gelbe. Das erkennt man, wenn man eine sechseckige und zwei dreieckige Kacheln gedanklich zu einer achteckigen Kachel zusammenfügt, wie in der folgenden Zeichnung geschehen:  

Rätsel der Woche

Bild: Spiegel Online

Der Boden ist dann vollständig von achteckigen Kacheln gleicher Form und Grösse bedeckt. Wenn wir den Anteil schwarzer Flächen herausfinden wollen, reicht es deshalb aus, den Anteil beim unregelmässigen Achteck zu berechnen. 

Darin befinden sich zwei schwarze Dreiecke und ein gelbes Sechseck. Wir können das Sechseck zerlegen – zunächst in sechs gleichseitige Dreiecke und diese sechs Dreiecke wiederum in je vier regelmässige Dreiecke. Diese 6*4 = 24 Dreiecke sind genauso gross wie jede der schwarzen Kacheln – siehe Zeichnung oben. 

Das unregelmässige Achteck besteht also aus 24 gelben und 2 schwarzen Dreiecken gleicher Grösse. Der Schwarzanteil liegt deshalb bei 2/(24+2) = 2/26 = 1/13.

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Bubble Weil wir die Kommentar-Debatten weiterhin persönlich moderieren möchten, sehen wir uns gezwungen, die Kommentarfunktion 48 Stunden nach Publikation einer Story zu schliessen. Vielen Dank für dein Verständnis!
5Alle Kommentare anzeigen
    Alle Leser-Kommentare
  • Erarehumanumest 21.09.2016 10:34
    Highlight Highlight Ich war eigentlich nicht schlecht, finde diesen Test (25 Aufgaben in 60min) für 13-Jährige aber eher happig.
  • Kopold 21.09.2016 10:06
    Highlight Highlight Grandios wenn man den richtigen Lösungsweg gefunden hat, letztendlich aber an der einfachen Bruchrechnung scheitert >.<
  • Vosi 20.09.2016 22:30
    Highlight Highlight Mein Hut der hat 3 Ecken
  • Anded 20.09.2016 10:52
    Highlight Highlight Kurzlösung: An jedes Sechseck grenzen 6 Dreiecke. Jedes Dreieck grenzt an 3 Sechsecke. 6/3=2 Dreiecke pro Sechseck. Ein Dreieck ist 1/24 von einem Sechseck. 2 Dreiecke = 1/12 Sechseck. Auf 12 Teile gelb kommt somit 1 Teil schwarz. Also ist Schwarz 1/13.
    Dann gibts noch einen Fehler ganz oben: "Man könnte die ganze Welt damit kacheln." - Nein, die Welt ist eine Kugel. Das Muster geht nur für flache Ebenen.
  • sterpfi 20.09.2016 10:37
    Highlight Highlight Das mit dem Achteck ist nicht schlecht. Alternativ kann man auch sagen: 1 Sechseck ist von 6 Dreiecken umringt, aber jedes Dreieck ist von 3 Sechsecken umringt, deshalb ist #Dreiecke = #Sechsecke * 6 / 3
    Die Fläche ist der einfachere Teil vom Problem.

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