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Rätsel der Woche

Spiegel Online

Rätsel der Woche: Frohes neues Jahr 2•10³ + 4² + 1

Die neue Jahreszahl 2017 eignet sich perfekt für ein Zahlenpuzzle, bei dem zunächst unklar bleibt, wie viele Lösungen überhaupt existieren.

Holger Dambeck



Ein Artikel von

Spiegel Online

Ich hoffe, du hast die Silvesterparty gut überstanden und auch keinen Kater mehr? Der wäre beim Lösen des folgenden Problems eher störend. 

2017 heisst das neue Jahr – und um uns an die neue Zahl schneller zu gewöhnen, spielt sie eine zentrale Rolle in diesem Rätsel:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Zahl 2017 als Summe von zwei oder mehr aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen darzustellen? (Der erste Summand soll grösser als 0 sein.)

Finde alle diese Darstellungen!

Achtung, nach dieser Spoiler-Warnung folgt des Rätsels Lösung!

spoiler alert

Es gibt nur eine einzige Lösung – und diese lautet:
1008 + 1009 = 2017

Wenn wir die Aufgabe lösen wollen, müssen alle natürlichen Zahlen n, k (n,k >0) die folgende Gleichung erfüllen:

2017 = n+1 + n+2 + ... + n+k

Auf der rechten Seite können wir die Summanden umgruppieren: 

2017 = n • k + (1 + 2 + ... + k-1 + k)

Die Summe der Zahlen von 1 bis k ist k • (k+1) / 2 – dies setzen wir ein und klammern k aus: 

2017 = n • k + k • (k+1) / 2

2017 = k • (n + (k+1) / 2)

Um den Bruch rechts zu eliminieren, multiplizieren wir beide Seiten mit 2: 

2 • 2017 = k • (2n + k+1)

2017 ist eine Primzahl. 2*2017 ist das Produkt zweier Primzahlen und muss laut Aufgabe als Produkt k • (2n + k+1) darstellbar sein. Weil (2n + k+1) grösser gleich 4 ist, kann nur gelten k=2 und 2n + k + 1 = 2017. 

Daraus folgt: n = 1007. Als einzige Lösung erhält man schliesslich die Summanden 1008 und 1009.

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    Alle Leser-Kommentare
  • Daenerys Targaryen 05.01.2017 14:23
    Highlight Highlight Also ich hatte das Ergebnis 69. Hab zuerst gelacht wegen der Zahl und dachte typisch watson, aber neeeiiin, hab gemerkt das auch im Jahr 2017 meine Fähigkeit im rechnen grottenschlecht ist. 😥
  • Exodus4 04.01.2017 19:08
    Highlight Highlight Der ist auch gut. ;)
    User Image
  • humpfli 04.01.2017 10:44
    Highlight Highlight Kann man auch anders lösen. Ich habe die Primfaktorenzerlegung versucht, bis ich gemerkt habe, dass 2017 eine Primzahl ist. Da 2017 ungerade ist, kann man es durch 2 teilen und dann die Zahl auf und abrunden. Schon hat man das Ergebnis. Dasselbe kann man mit allen anderen Faktoren machen. Bei geraden Zahlen muss die Teilung immer ein ".5" haben. Bei ungeraden muss die Teilung aufgehen.
    Bsp. mit 30
    mit 2 geht es nicht, da die Teilung aufgeht
    mit 3: 30:3=10 --> 10 ist Mittelglied -->9,10,11
    mit 5: 30:5=6 --> 4,5,6,7,8
  • Erarehumanumest 04.01.2017 08:52
    Highlight Highlight Wer hat "1 = sehr leicht" gedrückt und keinen Schimmer wie die Herleitung funktioniert? :)
    • blobb 04.01.2017 17:47
      Highlight Highlight Ich, weil mich die Lösung förmlich ansprang (8+9=17)
      Mit der Herleitung kann ich absolut nichts anfangen :)

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