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Rätsel der Woche Räuber

Bild: Spiegel Online

Rätsel der Woche: Zehn misstrauische Räuber

Das Geld ist erbeutet und liegt in einer Truhe. Doch die zehn Räuber trauen einander nicht. Wie müssen sie die Truhe verschliessen, damit niemand mit dem Geld verduften kann?

Holger Dambeck



Ein Artikel von

Spiegel Online

Ganoven, Geld, Schlüssel und Schlösser – das sind gängige Zutaten für eine Knobelaufgabe. Eine besonders schöne Variante möchte ich euch hier vorstellen:

Zehn Männer haben gemeinsam einen Safe geknackt und verstauen das gestohlene Geld in einem Versteck in einer grossen Truhe.

Die Räuber misstrauen einander. Daher beschliessen sie, die Truhe so zu verschliessen, dass nur vier beliebige Räuber gemeinsam die Truhe öffnen können. Sind weniger als vier Räuber anwesend, darf sich die Truhe nicht aufschliessen lassen.

Wie viele verschiedene Vorhängeschlösser müssen an der Truhe angebracht werden, damit das gelingt? Und wie viele Schlüssel werden benötigt?

Hinweis: Zwei Schlösser sind offenbar zu wenig, weil dann ja nicht ausgeschlossen werden kann, dass zwei zufällig ausgewählte Räuber gemeinsam die beiden erforderlichen Schlüssel besitzen und zu zweit an das Geld kommen.

Achtung, nach dieser Spoiler-Warnung folgt des Rätsels Lösung!

spoiler alert

Man benötigt 120 verschiedene Schlösser mit je sieben Schlüsseln – also insgesamt 840 Schlüssel. 

Laut Aufgabenstellung dürfen drei zufällig ausgewählte Räuber die Truhe nicht aufkriegen. Das gelingt, wenn es ein Schloss gibt, für das keiner der drei Räuber einen Schlüssel hat. Dafür besitzen aber alle anderen abwesenden sieben Räuber den passenden Schlüssel. Kommt ein beliebig ausgewählter vierter Räuber zu den drei Anwesenden hinzu, lässt sich das Schloss auf jeden Fall sofort öffnen. 

Dieses Prinzip muss für alle denkbaren Räubertrios gelten. Wenn drei Ganoven zusammenkommen, fehlt ihnen ein Schlüssel, den alle sieben abwesenden Räuber besitzen. 

Jetzt kommt die Kombinatorik ins Spiel: Wie viele Möglichkeiten gibt es, drei Räuber aus zehn auszuwählen? Die Lösung lautet 10 über 3 = 10!/(3! • 7!) – auch Binomialkoeffizient genannt. 

Wir können diese Zahl auch direkt ausrechnen. Es gibt 10 • 9 • 8 = 720 Varianten, drei natürliche Zahlen im Bereich von 1 bis 10 auszuwählen. Diese Auswahl enthält aber noch Vertauschungen (Permutationen). Beispielsweise gelten 2,5,7 und 5,2,7 noch als unterschiedliche Varianten. 

Das soll natürlich so nicht sein. Deshalb teilen wir die 720 durch die Zahl möglicher Vertauschungen von drei Zahlen und kommen auf 720/3 • 2 = 120. 

120 ist die Anzahl verschiedener Schlösser, die gebraucht werden. Nur dann existiert für jede Auswahl von drei Räubern genau ein Schloss, das dieses Trio nicht öffnen kann. Kommt ein vierter Räuber hinzu, ist der noch fehlende Schlüssel da. 

Für jedes der 120 Schlösser werden daher genau sieben Schlüssel benötigt. Also gibt es insgesamt 7 • 120 = 840 Schlüssel. Jeder der zehn Ganoven bekommt 84 Schlüssel. 

Das sind ziemlich viele – und auch eine Truhe mit mehr als 100 Vorhängeschlössern erscheint ein wenig unrealistisch. Aber wenn die Räuber einander so misstrauen, haben sie keine andere Wahl. 

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    Alle Leser-Kommentare
  • MacB 19.12.2016 09:43
    Highlight Highlight Ich versteh noch nicht mal die Frage richtig, obwohl ich die Lösung schon gesehen habe :D
  • flyme 19.12.2016 07:13
    Highlight Highlight So surreal uns solche Beispiele in der physischen Welt vorkommen mögen, so reell finden sie Anwendung in der virtuellen. Verifizierung, Authentifizierung, Verschlüsselung, etc. basieren auf solchen Überlegungen.
  • Hugo Wottaupott 18.12.2016 16:46
    Highlight Highlight Wm Räuber einzuschliessen gibts ein Schloss pro Person und das ist meistens zu.
  • http://bit.ly/2mQDTjX 18.12.2016 15:27
    Highlight Highlight Mr Meyer erklärt kurz und knapp: Pseudo-Kontext sei,

    a) ein Umfeld für eine Frage zu schaffen, die sich im alltäglichen Leben keiner stellen würde, oder

    b) eine solche Frage mit einer Methode zu lösen, die im alltäglichen Leben keiner anwenden würde.

    http://blog.mrmeyer.com/2010/pseudocontext-saturdays-introduction/

    Ein bemerkenswertes Beispiel von Mr Honner:

    http://mrhonner.com/archives/14673

    Apropos Pseudocontext: Mr President Trump besitzt einen schwarzen Koffer mit einem roten Knopf drin. Wieviele Schlösser, Schlüsselsets und misstrauische Räuber brauchen wir, um sicher zu sein?
  • j0nas 18.12.2016 12:35
    Highlight Highlight Ich würde vier Schlösser an die Truhe machen, die alle mit demselben Schlüssel geöffnet werden können. Jeder Pirat erhält einen Schlüssel.
    Wird ein Schloss geöffnet, kann der Schlüssel nicht mehr entfernt werden, ausser das Schloss ist zu und an der Truhe.
    Scheint mir etwas praktikabler als 120 Schlösser an einer Truhe...
    • Hayek1902 18.12.2016 13:05
      Highlight Highlight Ein querdenker ;)
    • http://bit.ly/2mQDTjX 18.12.2016 14:17
      Highlight Highlight Wenn ich Pirat wäre, würde ich dann einfach meinen Schlüssel drei mal kopieren. Et voilà.

      Aber weil ich vermute, dass die anderen Piraten auch so dermassen dreist und clever sind wie ich, und man denen genausowenig wie mir trauen kann, würde ich diese simple Lösung eher nicht so vertrauenswürdig finden. ;)
    • j0nas 18.12.2016 14:58
      Highlight Highlight Bei so viel krimineller Energie könnte die Truhe auch einfach aufgebrochen werden ;) Aber Piratrn sind ja bekanntlich sehr vertrauenswürdig :-P
    Weitere Antworten anzeigen
  • incorruptus 18.12.2016 11:52
    Highlight Highlight De Moment wenn d'Mathelehrer frogsch, für wa mer die behandlet Theorie mol bruche chan 😂
    • Hayek1902 18.12.2016 13:07
      Highlight Highlight Statistik, mein Freund. Und das öffnet dir Tür und Tor für Mathematik, VWL / Finance, Forschung allgemein (Medizin, Biologie, etc.) und sicher auch Informatik.
    • You will not be able to use your remote control. 18.12.2016 13:37
      Highlight Highlight Der Moment, wenn dich der Mathelerhrer fragt, wozu Sportler Ausdauert- und Geschicklichkeitsraining machen.

      Offensichtlich genügt es sich nur im Ernstfall zu bewegen.
  • caschthi 18.12.2016 11:35
    Highlight Highlight Ich hab nicht mal die Fragestellung richtig begriffen :'D
    • You will not be able to use your remote control. 18.12.2016 13:39
      Highlight Highlight Hab nicht angenommen, dass die das ernst meinen mit dem 'beliebige'.

      Darum dachte ich nach dem Spoiler wird eine viel zu kleine Zahl genannt und hab es nicht ausgerechnet.

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