Die Aufgabe: Sie haben einen grossen, rechteckigen Blechkuchen gebacken. Den fertigen Kuchen zerschneiden Sie in gleich grosse, rechteckige Stücke. Die Hälfte der Leute mag Randstücke, die andere Hälfte aber will auf keinen Fall ein Stück mit Rand abbekommen. Für welche Anzahl von Personen können Sie den Blechkuchen so aufteilen, dass jeder genau ein Stück nach seinen Vorlieben bekommt und keines übrigbleibt?
Um die Aufgabe lösen zu können, müssen Sie ausrechnen, wie viele Kuchenstücke vom Rand kommen und wie viele nicht. Wir schneiden den Blechkuchen in a waagerechte und b senkrechte Streifen und erhalten somit a mal b Stücke - siehe Skizze:
Wie viele davon sind Randstücke? Das lässt sich leicht ausrechnen: Es sind a + b + a + b - davon müssen wir aber noch 4 abziehen, weil ansonsten die Eckstücke doppelt gezählt werden. Diese Anzahl der Randstücke muss gemäss der Aufgabe genauso gross sein wie die Hälfte der gesamten Kuchenstückzahl. Aufgeschrieben als Gleichung heisst das:
ab/2 = 2a + 2b - 4
Wir müssen also alle Paare natürlicher Zahlen (a,b) finden, welche diese Gleichung erfüllen. Keine so leichte Sache! Eine Möglichkeit ist den Raum der Lösungen einzugrenzen. Zum Beispiel: Sobald a und b beide grösser als 20 sind, kann keine Lösung existieren (was nicht stimmen muss!). Träfe das zu, könnte man alle Zahlen kleiner als 20 durchprobieren.
Aber man kann die Gleichung oben auch geschickt umformen - und kommt direkt zur Lösung. Das erfordert jedoch eine gewisse Erfahrung im Umgang mit Ausdrücken wie ab, 4a und 4b.
