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Rätsel der Woche

Beweise, dass die rote und die blaue Fläche gleich sind!

Mädchen beim Nachdenken (Symbolbild)
Solche Rätsel sind immer eine gute Gelegenheit für äusserst überzeugend wirkende Symbolbilder. Bild: Shutterstock

Klar, die rote und die blaue Fläche sind gleich gross. Aber beweise das mal!

21.07.2018, 18:51
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Es ist Wochenende – und das Wetter war auch schon besser. Das heisst: Du hast massig Zeit für dieses kleine Rätsel hier! 

Wir haben da einen Viertelkreis vor uns, in den zwei kleinere Halbkreise eingeschrieben sind: 

Kreisrätsel
Bild: Kobon Fujimura

Deine Aufgabe: Beweise, dass die rote und die blaue Fläche gleich gross sind! 

Rätsel der Woche
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Achtung, nach dieser Spoiler-Warnung folgt des Rätsels Lösung!

spoiler alert

Die Figur oben ist ein Viertelkreis. Fügt man alle vier Viertelkreise zusammen, ergibt sich dieser volle Kreis, der vier kleinere, sich überschneidende Kreise enthält: 

Kreisrätsel
Bild: Kobon Fujimura

Wir stellen nun fest: 

  1. Die Gesamtfläche der vier kleinen, sich überschneidenden Kreise (= die blauen und weissen Teile zusammen) ist gleich gross wie die Gesamtfläche von vier solchen Kreisen abzüglich deren Schnittfläche (= die blauen Teile).
  2. Die Fläche des grossen Kreises abzüglich der roten Teile ist gleich gross wie die Gesamtfläche der weissen und blauen Teile. 

Mit diesen Angaben im Kopf stellen wir jetzt folgende Berechnungen an: 

  • Die Fläche des grossen Kreises ist π•r2
  • Der Radius von jedem der vier kleinen Kreise ist die Hälfte von r, also r/2.
  • Die Fläche eines solchen kleinen Kreises ist demnach: 
    π•(r/2)2 = π•r2/22 = π•r2/4
  • Die Gesamtfläche der vier kleinen Kreise ist somit: 
    4•π•r2/4 = π•r2

Damit können wir die beiden zuvor erwähnten Feststellungen wie folgt umformulieren: 

  1. Die blauen und weissen Teile sind zusammen gleich gross wie π•r2 abzüglich der blauen Teile. 
  2. Die blauen und weissen Teile sind zusammen gleich gross wie π•r2 abzüglich der roten Teile. 

Beide Feststellungen sind wahr, daher müssen die blauen Teile gleich gross sein wie die roten. 

Das Rätsel stammt aus «The Tokyo Puzzles» von Kobon Fujimura. 

Wie schwierig war dieses Rätsel?

(dhr)

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15 Kommentare
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Die beliebtesten Kommentare
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Stefan.Alex.H
22.07.2018 00:30registriert März 2016
- Bild ausdrucken
- Blaue und Rote Teile ausschneiden
- Auf die Waage legen
- Beweis erbracht ;)
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FrancoL
21.07.2018 22:43registriert November 2015
Die Vollkreislösung ist mehr als umständlich. Die Halbkreise im Viertelkreis haben die Fläche des Viertelkreises. Was überschneidet (blau) ist immer gleich der nicht enthaltenen Aussenfläche (rot).
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Alju
21.07.2018 19:02registriert März 2014
Doppelter Radius => 4-fache Fläche:
Ein kleiner Kreis ist exakt so gross wie 1/4 des grossen Kreises. Somit muss die Schnittfläche (blau) zwingend genau so gross sein wie die Rote.
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