Solche Rätsel sind immer eine gute Gelegenheit für äusserst überzeugend wirkende Symbolbilder. Bild: Shutterstock
Klar, die rote und die blaue Fläche sind gleich gross. Aber beweise das mal!
Es ist Wochenende – und das Wetter war auch schon besser. Das heisst: Du hast massig Zeit für dieses kleine Rätsel hier!
Wir haben da einen Viertelkreis vor uns, in den zwei kleinere Halbkreise eingeschrieben sind:
Bild: Kobon Fujimura
Deine Aufgabe: Beweise, dass die rote und die blaue Fläche gleich gross sind!
Achtung, nach dieser Spoiler-Warnung folgt des Rätsels Lösung!
Die Figur oben ist ein Viertelkreis. Fügt man alle vier Viertelkreise zusammen, ergibt sich dieser volle Kreis, der vier kleinere, sich überschneidende Kreise enthält:
Bild: Kobon Fujimura
Wir stellen nun fest:
- Die Gesamtfläche der vier kleinen, sich überschneidenden Kreise (= die blauen und weissen Teile zusammen) ist gleich gross wie die Gesamtfläche von vier solchen Kreisen abzüglich deren Schnittfläche (= die blauen Teile).
- Die Fläche des grossen Kreises abzüglich der roten Teile ist gleich gross wie die Gesamtfläche der weissen und blauen Teile.
Mit diesen Angaben im Kopf stellen wir jetzt folgende Berechnungen an:
- Die Fläche des grossen Kreises ist π•r2.
- Der Radius von jedem der vier kleinen Kreise ist die Hälfte von r, also r/2.
- Die Fläche eines solchen kleinen Kreises ist demnach:
π•(r/2)2 = π•r2/22 = π•r2/4 - Die Gesamtfläche der vier kleinen Kreise ist somit:
4•π•r2/4 = π•r2
Damit können wir die beiden zuvor erwähnten Feststellungen wie folgt umformulieren:
- Die blauen und weissen Teile sind zusammen gleich gross wie π•r2 abzüglich der blauen Teile.
- Die blauen und weissen Teile sind zusammen gleich gross wie π•r2 abzüglich der roten Teile.
Beide Feststellungen sind wahr, daher müssen die blauen Teile gleich gross sein wie die roten.
Das Rätsel stammt aus «The Tokyo Puzzles» von Kobon Fujimura.
(dhr)
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