Wie es so ist, mit diesen Logik-Rätseln: Die Ausgangslage ist ziemlich konstruiert. Stell dir also vor, du und zwei Freunde – nennen wir sie Alice und Bert – seien von Kidnappern entführt worden, die zufälligerweise ein Faible für Logik haben.
Klaus, der Boss der Entführer, will euch die Freiheit schenken, aber nur – du ahnst es – unter einer Bedingung: Ihr müsst sein Logikrätsel lösen. Und das hat's in sich.
Du und deine beiden Freunde werden jeder in eine eigene Zelle gesperrt. In jeder Zelle liegen Äpfel; du kannst sehen, wie viele sich in deiner Zelle befinden, aber du weisst nicht, wie viele es in den Zellen deiner Freunde sind. Klaus informiert euch noch darüber, dass es in jeder Zelle mindestens 1 Apfel hat, aber nicht mehr als 9. Und in jeder Zelle ist die Anzahl der Äpfel verschieden.
Jeder von euch dreien darf nun genau eine Frage stellen, die sich mit «Ja» oder «Nein» beantworten lässt. Klaus beantwortet sie immer wahrheitsgemäss. Du und deine beiden Mitgefangenen habt zwar keinen Blickkontakt, aber ihr könnt jede Frage und die Antwort von Klaus darauf hören. Klaus lässt euch nur dann frei, wenn ihr (bzw. einer von euch) ihm nach seiner dritten Antwort die korrekte Gesamtanzahl der Äpfel nennen könnt.
Als erste darf Alice eine Frage stellen. Sie fragt: «Ist die Gesamtanzahl der Äpfel eine gerade Zahl?»
Klaus antwortet: «Nein.»
Nun ist Bert an der Reihe. Er fragt: «Ist die Gesamtanzahl der Äpfel eine Primzahl?»
Wieder antwortet Klaus mit «Nein».
In deiner Zelle liegen 5 Äpfel. Um die Gesamtzahl der Äpfel zu ermitteln, musst du nun Klaus deine Frage stellen.
Hier ist eine kleine Zwischenbemerkung in diesem ohnehin komplizerten Rätsel notwendig: Deine neunmalklugen Freunde haben dir mit ihren Fragen ein dickes Ei gelegt. Sie hätten nämlich nur jeweils eine Frage stellen müssen, in der ihre Anzahl Äpfel erscheint. So hätte Alice zum Beispiel fragen können: «Habe ich x Äpfel in meiner Zelle?» Klaus, zur Wahrheit verpflichtet, hätte dann «Ja» sagen müssen. Bei Bert hätte die Frage entsprechend gelautet: «Habe ich y Äpfel in meiner Zelle?» Auch hier hätte Klaus die Anzahl y bestätigen müssen. Du hättest dann nur noch deine 5 Äpfel zu x und y zählen müssen, um die Gesamtanzahl G zu kennen: x + y + 5 = G.
Aber eben, dieser Zug ist leider abgefahren, und du musst mit den Fragen vorlieb nehmen, die deine Freunde wirklich gestellt haben.
Die Frage, die du Klaus stellen musst, lautet:
«Ist die Gesamtanzahl der Äpfel 15?»
Erinnern wir uns: In jeder Zelle liegen zwischen 1 und 9 Äpfel, in keiner Zelle befindet sich dieselbe Anzahl. Die kleinste mögliche Gesamtzahl ist daher 1 + 2 + 3 = 6 Äpfel. Die grösste mögliche Anzahl beläuft sich dagegen auf 7 + 8 + 9 = 24 Äpfel.
Da wir aber wissen, dass alle geraden Zahlen und alle Primzahlen (7, 11, 13, 17, 19, 23) wegfallen, bleiben nur noch drei mögliche Gesamtzahlen übrig: 9, 15 und 21.
Dies ergibt drei mögliche Fälle:
• Fall 1: Die korrekte Gesamtanzahl beträgt 15.
In diesem Fall antwortet Klaus natürlich mit «Ja» auf deine Frage – und ihr seid alle frei!
• Fall 2: Die korrekte Gesamtanzahl beträgt 9.
Klaus beantwortet deine Frage mit «Nein».
Da in deiner Zelle 5 Äpfel liegen, müssen sich – bei der Gesamtanzahl von 9 – zusammen 4 Äpfel in den Zellen von Alice und Bert befinden. Eine Person hat 1 davon, die andere 3.
Die Person mit 1 Apfel in der Zelle weiss also, dass die Gesamtanzahl maximal so hoch sein kann: 1 + 8 + 9 = 18.
Die Person mit 3 Äpfeln weiss, dass die Gesamtanzahl maximal 20 sein kann (nämlich 3 + 8 + 9).
Sowohl Alice wie Bert wissen also, dass 21 nicht die richtige Lösung sein kann. Und beide haben gerade gehört, dass 15 auch nicht richtig ist – beide wissen also, dass die korrekte Gesamtanzahl 9 ist.
• Fall 3: Die korrekte Gesamtanzahl beträgt 21.
Klaus beantwortet deine Frage auch in diesem Fall mit «Nein».
Da du 5 Äpfel in deiner Zelle hast, müssen Alice und Bert zusammen 16 haben – also hat jemand von ihnen 9 und der andere 7.
Dies genügt, dass beide 9 als korrekte Gesamtanzahl ausschliessen können. Und auch in diesem Fall haben beide gehört, dass 15 ebenfalls nicht richtig ist – beide wissen also, dass die korrekte Gesamtanzahl 21 ist.
(dhr)
