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Seltsame Schleife: Wenn Hände sich selber zeichnen, wie Eschers «Drawing Hands» (1948), stehen wir vor einem Paradoxon. 
Seltsame Schleife: Wenn Hände sich selber zeichnen, wie Eschers «Drawing Hands» (1948), stehen wir vor einem Paradoxon. Bild: artinelligence.com

«Dieser Satz ist falsch» und 9 weitere schöne Paradoxa (inklusive Bonus)

10.12.2017, 19:5411.12.2017, 08:14

Paradoxa sind das Salz in der ansonsten – zumindest für Laien – recht faden Suppe der Logik. Ihre Widersprüchlichkeit irritiert das Gehirn und erschüttert Gewissheiten – wie diese 10 Paradoxa plus Bonus zeigen. Falls du ein schönes Paradoxon kennst, das hier sträflich unberücksichtigt blieb, dann stell es in der Kommentarspalte vor. 

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Paradoxa bringen unsere Gehirnwindungen auf Trab. Bild: theodysseyonline.com

«Dieser Satz ist falsch»

Ein Klassiker. Es handelt sich um die einfachste Form des Lügner-Paradoxons, das dann entsteht, wenn ein Satz seine eigene Unwahrheit behauptet. Seine Selbstbezüglichkeit dreht der Logik eine Schlinge, in der sie sich heillos verheddert. Ein unauflöslicher Widerspruch tut sich auf: Wenn der Satz zutrifft, ist er das, was er aussagt: falsch. Ist er falsch, muss er richtig sein. Und so weiter. 

Auch zwei aufeinander bezogene, widersprüchliche Sätze können ein Paradoxon erzeugen. 
Auch zwei aufeinander bezogene, widersprüchliche Sätze können ein Paradoxon erzeugen. Bild: imgur

Die Negation, die darin steckt, dass eine Aussage sich selber widerruft, zeigt sich im eigentlichen Lügner-Paradoxon, wenn nämlich jemand behauptet: «Ich lüge gerade». Trifft der Satz zu, lügt der Sprecher – und der Satz muss falsch sein. Trifft er nicht zu, sagt der Sprecher die Wahrheit – und der Satz muss zutreffen. Eine Vorform davon ist seit der Antike bekannt als Paradoxon des Epimenides, dem wir uns als nächstes annehmen. 

Wenn Kreter lügen

«Der Kreter Epimenides sagt: Alle Kreter sind Lügner.» So lautet das Paradoxon des Epimenides in seiner bekanntesten Version. Es handelt sich allerdings nicht um ein echtes Paradoxon, selbst dann nicht, wenn man unter «Lügner» einen idealen Lügner versteht, der tatsächlich immer lügt. 

Diese Kreter! 
Diese Kreter! Bild: watson

Nimmt man an, dass die Aussage von Epimenides zutrifft, dann sind alle Kreter ausnahmslos Lügner – also auch Epimenides selbst. Damit ist seine Behauptung unwahr, und zwar weil sie wahr ist. Hier haben wir in der Tat ein hübsches Paradoxon – doch dies gilt nicht für den Fall, dass man annimmt, die Behauptung des Epimenides sei unwahr. In diesem Fall lügen nicht alle Kreter. Das ist widerspruchsfrei möglich; es muss nur mindestens einen Kreter geben, der nicht ständig lügt. 

«Beachte diesen Hinweis nicht!»

Auch dieser Satz gehört zu den unmöglichen Aussagen, wie wir sie beim Lügner-Paradoxon antreffen. Er ist ein Paradebeispiel für einen performativen Widerspruch – eine Form, die im Widerspruch zu ihrem Inhalt steht, hier in der Gestalt einer paradoxen Handlungsanweisung. Solche vertrackten Aussagen – «Sei spontan!» zum Beispiel – lassen dem Adressaten keine Möglichkeit, das Richtige zu tun. Er muss zwangsläufig etwas falsch machen, weil er widersprüchliche Anweisungen erhält. 

Paradoxe Verhaltensanweisung: «Beachte dieses Zeichen nicht.»
Paradoxe Verhaltensanweisung: «Beachte dieses Zeichen nicht.»Bild: Brad Downey

Kommunikationswissenschaftler wie Paul Watzlawick bezeichneten es als traumatisierende Kommunikation («Double Bind»); sie hatten beobachtet, dass Schizophreniepatienten häufig aus Familien mit solchen paradoxen Kommunikationsmustern kamen.  

Rasiert der Barbier sich selber?

Das Barbier-Paradoxon – ebenfalls ein Paradoxon der Selbstbezüglichkeit – wurde 1918 von dem britischen Philosophen und Mathematiker Bertrand Russell aufgestellt. Es lautet: «Man kann einen Barbier als einen definieren, der all jene und nur jene rasiert, die sich nicht selbst rasieren. Die Frage ist: Rasiert der Barbier sich selbst?» Nun, falls er sich selbst rasiert, dann rasiert er sich nicht selbst, denn er rasiert nur jene, die sich nicht selbst rasieren. Rasiert er sich aber nicht selbst, so gehört er zu jenen, die er per definitionem rasiert. 

Wer rasiert den Barbier?
Wer rasiert den Barbier?Bild: Imgur

Wie das verwandte Klub-Paradoxon – in Russells Klub darf nur Mitglied werden, wer keinem Klub angehört – ist das Barbier-Paradoxon eine Illustration der Russellschen Antinomie: «Bilde die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten». 

Gott und der Felsen

Dieses Paradoxon wurde bereits im Mittelalter formuliert: «Kann Gott einen Stein erschaffen, der so schwer ist, dass selbst er ihn nicht hochheben kann?» Allgemeiner betrachtet, geht es bei diesem Allmachtsparadoxon um die Frage, ob ein allmächtiges Wesen etwas erschaffen kann, das seine eigene Allmacht begrenzt.

Bild: CrossExamined.com

Dieses Paradoxon wurde als Argument für die Nicht-Existenz Gottes herangezogen, wobei dies jedoch nur dann Sinn hat, wenn Allmacht als etwas definiert wird, das den Fesseln der Logik unterliegt. Betrachtet man Allmacht als etwas, das über den Gesetzen der Logik steht, ist das Allmachtsparadoxon keines. 

Das Henker-Paradoxon

Ein etwas morbides Beispiel ist das Paradoxon der unerwarteten Hinrichtung oder Henker-Paradoxon, das in einer harmloseren Variante auch als Paradoxon der unerwarteten Prüfung bekannt ist. Ein perfider Richter teilt einem zum Tode Verurteilten mit, man werde ihn in der nächsten Woche – von Montag bis Freitag – hinrichten. Die Hinrichtung werde überraschend erfolgen, denn man nenne ihm den Termin nicht. Der Verurteilte weiss aber, dass Exekutionen jeweils am Mittag stattfinden. 

Quälende Ungewissheit: Wann findet die Hinrichtung statt?
Quälende Ungewissheit: Wann findet die Hinrichtung statt?Bild: Shutterstock

Der Verurteilte schöpft aus diesen Angaben Hoffnung: Ist er am Donnerstag nach dem Mittag noch am Leben, kann er am Freitag nicht mehr hingerichtet werden, denn das wäre ja nicht mehr überraschend. Ist aber der Freitag ausgeschlossen, kann er auch am Donnerstag nicht mehr exekutiert werden, und so weiter. «Unter dieser Bedingung kann ich also überhaupt nicht hingerichtet werden», denkt sich der Verurteilte – und wird am Mittwoch, völlig überrascht, aufs Schafott geführt. 

Die Schlussfolgerung des Verurteilten, dass er am Freitag nicht mehr hingerichtet werden kann, beruht auf der Voraussetzung, dass er am Donnerstag noch lebt. Daraus leitet er die weiteren Folgerungen ab, die aber alle auf dieser ersten aufbauen. 

Mord am eigenen Grossvater

Bleiben wir gleich bei morbiden Gedankenspielen. Wann immer es beim Smalltalk oder in einem Science-Fiction-Film um Zeitreisen geht, ist das Grossvater-Paradoxon nicht weit. Es besagt, dass ein Zeitreisender, der in die Vergangenheit vor der Zeugung seines Vaters reist und dort seinen eigenen Grossvater umbringt, auf diese Weise eine Ursache seiner eigenen Existenz auslöscht – und damit keine Zeitreise mehr unternehmen kann. Dies bedeutet wiederum, dass er seinen Grossvater nicht mehr umbringen kann, womit seine eigene Existenz nicht mehr aufgehoben ist, sodass er also wieder eine Zeitreise unternehmen und seinen Grossvater töten kann. Und so weiter und so fort. 

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Mord und Totschlag vor der Zeitmaschine: Grossvater-Paradoxon. Bild: Make a Gif

Solche Probleme mit der Kausalität bei Zeitreisen könnte man aus dem Weg räumen, indem man davon ausgeht, dass bei einer Reise in die Vergangenheit jeweils zwangsläufig ein Paralleluniversum mit einer neuen Zukunft entsteht. Der Zeitreisende könnte somit nie mehr in sein Universum zurückkehren. 

Das Schiff des Theseus

Was geschieht mit einem Gegenstand, dessen Einzelteile im Laufe der Zeit Stück für Stück ersetzt werden – bleibt er mit sich selbst identisch oder nicht? Diese Frage stellt sich im Theseus-Paradoxon, auch Schiff-des-Theseus-Paradoxon genannt. Die älteste Version stammt vom griechischen Schriftsteller Plutarch, der berichtet, wie die Athener die Galeere des Theseus lange Zeit aufbewahrten und dabei gelegentlich alte Planken durch neue ersetzten – bis am Ende das ganze Schiff komplett erneuert war. War es nun noch das gleiche Schiff oder ein anderes? 

So könnte das Schiff des Theseus ausgesehen haben. Dieses hier ist aber sicher nicht das Original. 
So könnte das Schiff des Theseus ausgesehen haben. Dieses hier ist aber sicher nicht das Original. Bild: popphilosophers.blogspot.ch

Ebenfalls mit dem Schiff des griechischen Helden wird das Problem der doppelten Identität illustriert: Würde Theseus sein Schiff auf der Werft Planke um Planke komplett erneuern lassen und der Werfteigner die alten Planken aufbewahren und daraus das alte Schiff wieder aufbauen – welches wäre dann Theseus' Schiff, das erneuerte oder das alte, aber neu aufgebaute?

Sophisten vor Gericht

Der griechische Philosoph Protagoras, ein berühmter Rhetoriker und Sophist, unterwies den Schüler Euathlos in Rechtskunde. Beide kamen überein, dass Euathlos das Entgelt für den Unterricht erst dann bezahlen sollte, wenn er seinen ersten Prozess gewonnen hatte. Da Euathlos jedoch einen anderen Beruf ergriff und daher keine Prozesse führte, konnte er auch keinen gewinnen – und Protagoras bekam kein Geld zu sehen.  

Protagoras brachte seinem Schüler Euathlos den Sophismus bei. Und was hatte er davon? Einen Prozess!
Protagoras brachte seinem Schüler Euathlos den Sophismus bei. Und was hatte er davon? Einen Prozess!Bild: Medium.com

Also verklagte Protagoras seinen ehemaligen Schüler. Seine Überlegung dabei: Gewinnt Euathlos den Prozess, muss er wie vereinbart bezahlen, weil er seinen ersten Prozess gewonnen hat. Verliert er den Prozess, muss er bezahlen, weil das Gericht ihn dazu verurteilt. Euathlos dagegen argumentierte: Gewinne ich den Prozess, so verurteilt mich das Gericht nicht zur Zahlung. Verliere ich ihn dagegen, so muss ich – wie in unserer Vereinbarung vorgesehen – nicht bezahlen. 

Dieses Glanzstück von Sophismus gilt heute nicht mehr als echtes Paradoxon. Zum einen verletzt es den Identitätssatz, da Euathlos in zwei funktionalen Identitäten – als Anwalt in eigener Sache und als Beklagter – auftritt. Zum andern gehört es zu den Aufgaben eines Gerichts, unsinnige Vertragsbestimmungen nötigenfalls für nichtig zu erklären. 

Das Kugeln-vor-Mitternacht-Paradoxon

Stellen wir uns vor: Es ist eine Minute vor Mitternacht. Wir legen zehn von 1 bis 10 nummerierte Kugeln in eine Kiste und nehmen die Nummer 1 gleich wieder raus. Eine halbe Minute vor Mitternacht legen wir die Kugeln 11 bis 20 in die Kiste und entnehmen diesmal die Nummer 2. Eine Drittel-Minute vor Mitternacht folgen die Kugeln 21 bis 30. Wir legen sie in die Kiste und entnehmen dafür die Nummer 3. Diesen Vorgang wiederholen wir nun stetig. Um Mitternacht ist die Kiste leer. 

Mehr Kugeln reinlegen als rausnehmen – und trotzdem sind am Schluss keine mehr da? 
Mehr Kugeln reinlegen als rausnehmen – und trotzdem sind am Schluss keine mehr da? Bild: 3DOcean

Wie kann das sein? Immerhin legen wir ständig mehr Kugeln in die Kiste, als wir herausnehmen. Allerdings nehmen wir auch alle wieder raus; wir können sogar genau sagen wann: Kugel 2 entnehmen wir eine halbe Minute vor Mitternacht, Kugel 5000 eine Fünftausendstel Minute vor Mitternacht. Um Mitternacht sind daher keine Kugeln mehr in der Kiste, obwohl wir wesentlich mehr Kugeln reinlegen als rausnehmen. 

Bonus: «We're all individuals!»

Viele halten ihn für den besten Monty-Python-Film, mit Sicherheit ist es der klügste: In «Monty Python’s Life of Brian» («Das Leben des Brian», 1979) gibt es eine Szene mit einem hübschen kleinen Paradoxon.

Brian, den seine Anhänger gegen seinen Willen für den Messias halten, spricht vom Balkon aus zu seinen Fans. Er ruft ihnen in Erinnerung, dass sie alle Individuen seien, worauf die Menge einstimmig bekräftigt: «Yes, We're all individuals!» (Ja! Wir sind alle Individuen!). Brian ruft darauf, zunehmend entnervt: «Und ihr seid alle völlig verschieden!» Auch hier schallt es einstimmig zurück: «Ja! Wir sind alle völlig verschieden!» – nur ein einziger Mann ruft: «Ich nicht!»

«Life Of Brian – You are all individuals.»Video: YouTube/lucasbeer

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