Achtung, nach dieser Spoiler-Warnung folgt des Rätsels Lösung!
In jeder Schachtel hat es gleich viel Kuchen.
Schachtel 2 kann in vier gleich grosse Schachteln aufgeteilt werden, ohne dass ein Rest bleibt. Schachtel 3 besteht dementsprechend aus 16 kleinen Schachteln. In jeder Schachtel – egal wie gross sie ist – nimmt der Kuchen, der sich darin befindet, den gleichen Anteil ein. Daher ist die Kuchenmenge in allen drei Schachteln gleich gross.
Und mathematisch gesehen?
Nehmen wir an, dass der Radius der 16 kleinsten Kuchen aus Schachtel 3 jeweils r sei. Dann ist der Radius der Kuchen aus der mittleren Schachtel2r und der Radius des grossen Kuchens aus Schachtel 1 beträgt 4r.
Da die Kreisfläche – die Kuchen sind kreisförmig – pi • r2 beträgt, weisen die Kuchen folgende Oberfläche auf:
Schachtel 1: pi • (4r)2 = 16r2
Schachtel 2: 4 • pi • (2r)2 = 16r2
Schachtel 3: 16 • pi • (r)2 = 16r2
Die Gesamtmenge an Kuchen ist in jeder Schachtel also gleich. Wenigstens, was die Oberfläche betrifft – es könnte immerhin sein, dass der grosse Kuchen auch dicker ist als die kleineren Exemplare. Aber das Rätsel hier ist nun mal zweidimensional!
